Sistema di generatori immagine applicazioni lineare

[fgnm]

Come da titolo mi trovo a dover determinare un sistema di generatori dell'immagine di un'applicazione lineare.
Supponiamo che abbia questa applicazione:

$f: a_0 + a_1 x + a_2 x^2 in RR_{[x]<=2} \to (a_0 - 2 a_1, 2a_2 + a_0, a_1 + a_2) in RR^3$

Una volta che verifico che è un'applicazione lineare facendo vedere che $f(u + v) = f(u) + f(v)$ e che $\lambda f(u) = f(\lambda u)$ ho detto, referendomi ad un teorema, che un sistema di generatori delle immagini può essere ${1, x, x^2}$ , base del dominio. è corretto quello che ho fatto? Ci sarebbero altri metodi magari migliori?

Grazie e scusatemi per queste domande 'base' purtroppo non ho potuto seguire il corso

[Studente Anonimo]

Francamente, ho compreso ben poco di quello che hai scritto. Ad ogni modo:

$[P(x)=1] rarr [vecv_1=((1),(1),(0))]$

$[P(x)=x] rarr [vecv_2=((-2),(0),(1))]$

$[P(x)=x^2] rarr [vecv_3=((0),(2),(1))]$

Ora, di quei tre vettori, è sufficiente prendere un sottoinsieme massimale, proprio o improprio, costituito da vettori linearmente indipendenti.

P.S.
Un sistema di generatori dell'immagine deve essere costituito da vettori appartenenti all'immagine. Mi viene il dubbio che tu intendessi procedere come sopra e che ti sia espresso male.

[fgnm]

Ah, okay vediamo se ho capito bene, se considero:
$h : (a_1, a_2, a_3) in RR^3 \to (a_1 + a_3, a_2 + a_3) in RR^2$

ottengo:
$\vec v_1 = (1, 0) $
$\vec v_2 = (0, 1) $
$\vec v_3 = (1, 1) $

Dunque un sistema di generatori delle immagini è ${(1, 0), (0, 1)}$, giusto?

[Studente Anonimo]

Certamente, così come si sarebbe potuto prendere due qualsiasi vettori linearmente indipendenti, visto che l'immagine coincide con lo spazio vettoriale di arrivo.

[fgnm]

Grazie mille, come sempre