Sistema di generatori e base
Salve! Ho un insieme X = {(-1,0,3),(0,0,1),(-2,5,1),(1,1,1)}
Devo verificare se è un sistema di generatori e se è una base , ho svolto l'esercizio nel seguente modo :
Allora, l'insieme X è un sistema di generatori se ogni vettore di R^2 è combinazione lineare di vettori di X.
Per provare ciò ho svolto il sistema:
{ -x-2z+l = a
{5z + l = b
{ 3x+y+z+l=c
Ho provato a risolvere il sistema con il metodo di Gauss-Jordan, ho ricondotto il sistema a una matrice e ridotto a scala
ottenendo
(-1 0 -2 1)
(0 1 -5 4 )
(0 0 5 1 )
risolvendo il sistema ottenuto dalla seguente matrice ho come risultato
{x=7/5l-a
{y=b-5l
{z=(c-l)/5
che avrebbe infinite soluzioni al variare di l in R. Ora, la mia domanda è ...è un sistema di generatori se ha infinite soluzioni? Ogni vettore di R^2 è esprimibile dalla combinazione lineare di questi vettori?
Inoltre, non può essere una base perchè l'ordine dei vettori supera la dimensione dello spazio, è giusto? Non possono essere linearmente indipendenti perchè non avrà mai rango massimo?
Grazie per l'attenzione, attendo la vostra risposta!!!
Devo verificare se è un sistema di generatori e se è una base , ho svolto l'esercizio nel seguente modo :
Allora, l'insieme X è un sistema di generatori se ogni vettore di R^2 è combinazione lineare di vettori di X.
Per provare ciò ho svolto il sistema:
{ -x-2z+l = a
{5z + l = b
{ 3x+y+z+l=c
Ho provato a risolvere il sistema con il metodo di Gauss-Jordan, ho ricondotto il sistema a una matrice e ridotto a scala
ottenendo
(-1 0 -2 1)
(0 1 -5 4 )
(0 0 5 1 )
risolvendo il sistema ottenuto dalla seguente matrice ho come risultato
{x=7/5l-a
{y=b-5l
{z=(c-l)/5
che avrebbe infinite soluzioni al variare di l in R. Ora, la mia domanda è ...è un sistema di generatori se ha infinite soluzioni? Ogni vettore di R^2 è esprimibile dalla combinazione lineare di questi vettori?
Inoltre, non può essere una base perchè l'ordine dei vettori supera la dimensione dello spazio, è giusto? Non possono essere linearmente indipendenti perchè non avrà mai rango massimo?
Grazie per l'attenzione, attendo la vostra risposta!!!
Risposte
Ciao, per prima cosa direi che stiamo parlando di $\mathbb{R}^{3}$.
Poi possiamo fare così: affianchiamo i vettori e otteniamo la seguente matrice$$
\left(\begin{matrix}
-1&0&-2&1\\0&0&5&1\\3&1&1&1
\end{matrix}\right)
$$Ora guardiamo il suo rango per capire se ci siano $3$ vettori linearmente indipendenti che quindi formerebbero una base.
E' sufficiente considerare il minore$$
\left(\begin{matrix}
-1&0&-2\\0&0&5\\3&1&1
\end{matrix}\right)
$$per notare che è invertibile, quindi il rango della matrice è $3$ e i primi tre vettori sono linearmente indipendenti, quindi formano una base di $\mathbb{R}^{3}$. A questo punto è ovvio concludere che i quattro vettori di partenza formino un sistema di generatori.
Poi possiamo fare così: affianchiamo i vettori e otteniamo la seguente matrice$$
\left(\begin{matrix}
-1&0&-2&1\\0&0&5&1\\3&1&1&1
\end{matrix}\right)
$$Ora guardiamo il suo rango per capire se ci siano $3$ vettori linearmente indipendenti che quindi formerebbero una base.
E' sufficiente considerare il minore$$
\left(\begin{matrix}
-1&0&-2\\0&0&5\\3&1&1
\end{matrix}\right)
$$per notare che è invertibile, quindi il rango della matrice è $3$ e i primi tre vettori sono linearmente indipendenti, quindi formano una base di $\mathbb{R}^{3}$. A questo punto è ovvio concludere che i quattro vettori di partenza formino un sistema di generatori.
Potresti scrivere con le formule? Non si capisce nulla. qui come fare -> come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html .
Comunque, senza nessun calcolo puoi già dire una cosa , quel sistema di vettori non è una base di $RR^3$ , perché?
Comunque, senza nessun calcolo puoi già dire una cosa , quel sistema di vettori non è una base di $RR^3$ , perché?
Sto provando ad usare ASCIIMathML ma non riesco, cosa devo fare?
Allora, si ho sbagliato era \$RR^3\$, non è una base perchè sono 4 vettori e quindi l'ordine dell'insieme è maggiore dello spazio di \$RR^3\$.
Per quanto riguarda ciò che hai scritto, minomic, si i vettori solo linearmente indipendenti, ma se non sono un sistema di generatori non sono una base di \$RR^3\$, giusto? Io so che un insieme X è una base se e soltanto se è un sistema di generatori e i vettori sono linearmente indipendenti, quindi l'uno non implica l'altro. Inoltre, come ho già detto so già che non è una base dovrei verificare se è un sistema di generatori, ma non so come fare, se il sistema è giusto o meno, perchè essendo in 3 equazioni e 4 incognite ha infinite soluzioni.
Ecco il sistema riscritto, che ho ottenuto in questo modo: Se l'insieme X è un insieme di generatori vuol dire che qualsiasi vettore di \$RR^3\$ è esprimibile mediante combinazione lineare dei vettori che io possiedo, quindi \$AA\$ (a,b,c) esso è esprimibile come = x(-1,0,3)+y(0,0,1)+z(-2,5,1)+l(1,1,1)
quindi ho scritto il sistema e tentato di risolverlo
\$\{(-x-2z+l = a),(5z + l = b),(3x+y+z+l=c):}\$
Ma come ho scritto hai infinite soluzioni quindi non so se posso considerarlo come un insieme di generatori o meno! Grazie infinite per le risposte, spero di essere stato chiaro!!
Allora, si ho sbagliato era \$RR^3\$, non è una base perchè sono 4 vettori e quindi l'ordine dell'insieme è maggiore dello spazio di \$RR^3\$.
Per quanto riguarda ciò che hai scritto, minomic, si i vettori solo linearmente indipendenti, ma se non sono un sistema di generatori non sono una base di \$RR^3\$, giusto? Io so che un insieme X è una base se e soltanto se è un sistema di generatori e i vettori sono linearmente indipendenti, quindi l'uno non implica l'altro. Inoltre, come ho già detto so già che non è una base dovrei verificare se è un sistema di generatori, ma non so come fare, se il sistema è giusto o meno, perchè essendo in 3 equazioni e 4 incognite ha infinite soluzioni.
Ecco il sistema riscritto, che ho ottenuto in questo modo: Se l'insieme X è un insieme di generatori vuol dire che qualsiasi vettore di \$RR^3\$ è esprimibile mediante combinazione lineare dei vettori che io possiedo, quindi \$AA\$ (a,b,c) esso è esprimibile come = x(-1,0,3)+y(0,0,1)+z(-2,5,1)+l(1,1,1)
quindi ho scritto il sistema e tentato di risolverlo
\$\{(-x-2z+l = a),(5z + l = b),(3x+y+z+l=c):}\$
Ma come ho scritto hai infinite soluzioni quindi non so se posso considerarlo come un insieme di generatori o meno! Grazie infinite per le risposte, spero di essere stato chiaro!!
Dovresti togliere gli slash davanti ai simboli di dollaro altrimenti non si capisce. 
Perdonate il duplice post!
Allora, si ho sbagliato era $RR^3$, non è una base perchè sono 4 vettori e quindi l'ordine dell'insieme è maggiore dello spazio di $RR^3$.
Per quanto riguarda ciò che hai scritto, minomic, si i vettori solo linearmente indipendenti, ma se non sono un sistema di generatori non sono una base di $RR^3$, giusto? Io so che un insieme X è una base se e soltanto se è un sistema di generatori e i vettori sono linearmente indipendenti, quindi l'uno non implica l'altro. Inoltre, come ho già detto so già che non è una base dovrei verificare se è un sistema di generatori, ma non so come fare, se il sistema è giusto o meno, perchè essendo in 3 equazioni e 4 incognite ha infinite soluzioni.
Ecco il sistema riscritto, che ho ottenuto in questo modo: Se l'insieme X è un insieme di generatori vuol dire che qualsiasi vettore di $RR^3$ è esprimibile mediante combinazione lineare dei vettori che io possiedo, quindi $AA$ (a,b,c) esso è esprimibile come = x(-1,0,3)+y(0,0,1)+z(-2,5,1)+l(1,1,1)
quindi ho scritto il sistema e tentato di risolverlo
${(-x-2z+l = a),(5z + l = b),(3x+y+z+l=c):}$
Ma come ho scritto hai infinite soluzioni quindi non so se posso considerarlo come un insieme di generatori o meno! Grazie infinite per le risposte, spero di essere stato chiaro!!
Allora, si ho sbagliato era $RR^3$, non è una base perchè sono 4 vettori e quindi l'ordine dell'insieme è maggiore dello spazio di $RR^3$.
Per quanto riguarda ciò che hai scritto, minomic, si i vettori solo linearmente indipendenti, ma se non sono un sistema di generatori non sono una base di $RR^3$, giusto? Io so che un insieme X è una base se e soltanto se è un sistema di generatori e i vettori sono linearmente indipendenti, quindi l'uno non implica l'altro. Inoltre, come ho già detto so già che non è una base dovrei verificare se è un sistema di generatori, ma non so come fare, se il sistema è giusto o meno, perchè essendo in 3 equazioni e 4 incognite ha infinite soluzioni.
Ecco il sistema riscritto, che ho ottenuto in questo modo: Se l'insieme X è un insieme di generatori vuol dire che qualsiasi vettore di $RR^3$ è esprimibile mediante combinazione lineare dei vettori che io possiedo, quindi $AA$ (a,b,c) esso è esprimibile come = x(-1,0,3)+y(0,0,1)+z(-2,5,1)+l(1,1,1)
quindi ho scritto il sistema e tentato di risolverlo
${(-x-2z+l = a),(5z + l = b),(3x+y+z+l=c):}$
Ma come ho scritto hai infinite soluzioni quindi non so se posso considerarlo come un insieme di generatori o meno! Grazie infinite per le risposte, spero di essere stato chiaro!!
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