Sistema di generatori

[gaten]

Salve ragazzi su un libro, ho trovato il seguente sistema:

$T = { (1, 0, 1), (0, 0, 1), (5, 0, 3) }$
e dice che praticamente non è un sistema di generatori, perchè?

[dissonance]

Sistema di generatori di cosa? Se non lo specifichi la tua domanda è priva di senso.

[maurer]

"gaten":Salve ragazzi su un libro, ho trovato il seguente sistema:

$T = { (1, 0, 1), (0, 0, 1), (5, 0, 3) }$
e dice che praticamente non è un sistema di generatori, perchè?

Sistema di generatori di cosa????

Se intendi, come immagino, di [tex]\mathbb R^3[/tex], la risposta è: perché la matrice
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 5 & 0 & 3 \end{matrix} \right)[/tex]
ha rango 2 e quindi i tuoi vettori non sono linearmente indipendenti, quindi il sottospazio da essi generato ha dimensione 2 e quindi non può coincidere con [tex]\mathbb R^3[/tex].

P.S. Scrivevo in contemporanea con dissonance!

[gaten]

Si maurer comunque è di $R^3$ chiedo scusa se non l'ho specificato. Comunque grazie mille per la risposta

Invece se volessi verificare che $U = {x, x + 1, x2 − 2, x2}$ di $R_3[x]$ è un sistema di generatori?

[maurer]

Non si capisce che cosa hai scritto... puoi scriverlo meglio? Con [tex]\mathbb R_3[X][/tex] intendi i polinomi di grado minore o uguale a 3?

[gaten]

Si, intendo i polinomi <= 3

[maurer]

Comunque, intendi i polinomi [tex]x, x+1, x^2-2, x^2[/tex]? In questo caso, scrivi la matrice delle componenti rispetto alla base standard:

[tex]\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
e riduci. Ti verrà rango 3.

[gaten]

Quindi è linearmente dipendente, e una base potrebbe essere data dalle prime tre righe della matrice?
L'esercizio mi chiede anche se è possibile completarlo ad una base di $R_3[x]$

[maurer]

Ad esempio le prime tre vanno bene. Anche se non ha senso chiedere se è possibile completare un sistema di generatori ad una base, perché completare significa aggiungere. Piuttosto, la domanda sarà: "è possibile estrarre una base di [tex]\mathbb R_3[X][/tex]?"

[gaten]

traccia:

se è possibile completarlo ad una base di $R_3[x]$ e, in caso affermativo, esibirne una.

C'è sceritto proprio così.