Sistema di generatori
Ho questo esercizio:
$w_1=e1-e3$ e $w_2=2e1+e2$ dove la base è $B^3$
trovare una base di W generata da w1 e w2
il mio dubbio è che non capisco come verificare che w1 e w2 formino un sistema di generatori
fatta l'uguaglianza $(a,b) = (h_1+2h_2,h_2,-h_1)$ ho ottenuto questo sistema
${ (a=h_1+2h_2) , (b=h_2) , (c=-h_1) }$
quello che chiedo è ,più in generale, come capisco che i vettori sono un sistema di generatori dal sistema ottenuto facendo la combinazione lineare ?
$w_1=e1-e3$ e $w_2=2e1+e2$ dove la base è $B^3$
trovare una base di W generata da w1 e w2
il mio dubbio è che non capisco come verificare che w1 e w2 formino un sistema di generatori
fatta l'uguaglianza $(a,b) = (h_1+2h_2,h_2,-h_1)$ ho ottenuto questo sistema
${ (a=h_1+2h_2) , (b=h_2) , (c=-h_1) }$
quello che chiedo è ,più in generale, come capisco che i vettori sono un sistema di generatori dal sistema ottenuto facendo la combinazione lineare ?
Risposte
metti i due vettori in una matrice. se questa ha rango massimo allora generano il sottospazio. detto questo, da quello che ho capito dal testo, non è necessario che lo verifichi in quanto ti dice che W è generato da $w_1$ e $w_2$
questo è l'esercizio che mi ha instillato il dubbio forse avrei dovuto dare questo come esempio perdon
v = h1v1 + h2v2 <=> (a,b,c)=h1(0,1,1)+h2(1,0,2)=(0,h1,h1)+(h2,0,2h2)=(h2,h1,h1+2h2)
quindi ho:
h2 = a
h1 = b
h1+2h2=c
Questa è la risoluzione:
Quindi, S1 genera solo i vettori di R3 la cui terza coordinata c = b + 2 a S1 non è un sistema di generatori di R3 e di conseguenza S1 non è una base di R3 ( ovviamente non è possibile generare una base di DIM 3 da 2 vettori)
non capisco cosa vuole dire
h1 e h2 esistono e sono uguali ad a e b perchè non sono un sistema di generatori?
v = h1v1 + h2v2 <=> (a,b,c)=h1(0,1,1)+h2(1,0,2)=(0,h1,h1)+(h2,0,2h2)=(h2,h1,h1+2h2)
quindi ho:
h2 = a
h1 = b
h1+2h2=c
Questa è la risoluzione:
Quindi, S1 genera solo i vettori di R3 la cui terza coordinata c = b + 2 a S1 non è un sistema di generatori di R3 e di conseguenza S1 non è una base di R3 ( ovviamente non è possibile generare una base di DIM 3 da 2 vettori)
non capisco cosa vuole dire
h1 e h2 esistono e sono uguali ad a e b perchè non sono un sistema di generatori?
"tuttomax":
questo è l'esercizio che mi ha instillato il dubbio forse avrei dovuto dare questo come esempio perdon
v = h1v1 + h2v2 <=> (a,b,c)=h1(0,1,1)+h2(1,0,2)=(0,h1,h1)+(h2,0,2h2)=(h2,h1,h1+2h2)
quindi ho:
h2 = a
h1 = b
h1+2h2=c
Questa è la risoluzione:
Quindi, S1 genera solo i vettori di R3 la cui terza coordinata c = b + 2 a S1 non è un sistema di generatori di R3 e di conseguenza S1 non è una base di R3 ( ovviamente non è possibile generare una base di DIM 3 da 2 vettori)
non capisco cosa vuole dire
h1 e h2 esistono e sono uguali ad a e b perchè i due vettori non sono un sistema di generatori?
"tuttomax":
Quindi, S1 genera solo i vettori di R3 la cui terza coordinata c = b + 2 a S1 non è un sistema di generatori di R3 e di conseguenza S1 non è una base di R3 ( ovviamente non è possibile generare una base di DIM 3 da 2 vettori)
ti sta dicendo che i due vettori dati in $S_1$, cioè i vettori $ (0,1,1) ^^ (1,0,2) $ , possono generare $RR^3$ solo nell'eventualità che la c abbia quella forma. se così non fosse sapresti già che non sono un sistema di generatori. conclude poi che non è un sistema di generatori per una questione di dimensioni. un insieme di 2 vettori infatti non potrà mai generare uno spazio 3-dimensionale. in particolare hai la seguente proprietà dei sistemi di generatori:
La minima cardinalità di un insieme di generatori per $V$ è la dimensione di $V$
Quindi v1 e v2 generano vettori di R3 solo se il vettore generato è così: $(b,a,b+2a)$
per cui, ad esempio, preso b=1 e a=2 avrò c=1+4=5 quindi il vettore (1,2,5) fa parte di S1
ma se ad esempio il vettore fosse (1,2,6) allora questo non appartiene a S1 e quindi non è un vettore che appartiene a R3
ma allora c a cosa deve essere uguale (oltre a $b+2a$) per poter permettere a S1 di generare un vettore di R3 ?
per cui, ad esempio, preso b=1 e a=2 avrò c=1+4=5 quindi il vettore (1,2,5) fa parte di S1
ma se ad esempio il vettore fosse (1,2,6) allora questo non appartiene a S1 e quindi non è un vettore che appartiene a R3
ma allora c a cosa deve essere uguale (oltre a $b+2a$) per poter permettere a S1 di generare un vettore di R3 ?
"tuttomax":e il mio dubbio é:
Ho questo esercizio:
$w_1=e1-e3$ e $w_2=2e1+e2$ dove la base è $B^3$
trovare una base di W generata da w1 e w2
il mio dubbio è che non capisco come verificare che w1 e w2 formino un sistema di generatori
fatta l'uguaglianza $(a,b) = (h_1+2h_2,h_2,-h_1)$ ho ottenuto questo sistema
${ (a=h_1+2h_2) , (b=h_2) , (c=-h_1) }$
1) chi é \(B^3\)?
2) chi é \(W\)?
3) "trovare una base di W generata da w1 e w2" cosa dovrebbe significare? Sai cosa é una base? Sai cosa é un sottospazio generato da ...? vi é una confusione assurda nella frase che hai scritto, é come se avessi detto "vi é qualquadra che non cosa!"
Potresti essere piú preciso pls!!
si scusami
$B^3$ è la base canonica rispetta $R^3$
$W=L(w1,w2)$
e ovviamente determinare se w1 e w2 generano una base.
quindi per quanto riguarda l'esercizio devo vedere se w1 e w2 sono LI.
In più volevo dimostrare che ,effettivamente, w1 e w2 fossero un sistema di generatori (questo è il mio problema)
p.s.:il post l'ho scritto verso le 10 di sera dopo aver studiato tutta la giornata(mattina,pomeriggio e sera). Spero che ora sia più chiaro
$B^3$ è la base canonica rispetta $R^3$
$W=L(w1,w2)$
e ovviamente determinare se w1 e w2 generano una base.
quindi per quanto riguarda l'esercizio devo vedere se w1 e w2 sono LI.
In più volevo dimostrare che ,effettivamente, w1 e w2 fossero un sistema di generatori (questo è il mio problema)
p.s.:il post l'ho scritto verso le 10 di sera dopo aver studiato tutta la giornata(mattina,pomeriggio e sera). Spero che ora sia più chiaro
"tuttomax":
si scusami
$B^3$ è la base canonica rispetta $R^3$
$W=L(w1,w2)$
e ovviamente determinare se w1 e w2 generano una base.
quindi per quanto riguarda l'esercizio devo vedere se w1 e w2 sono LI.
In più volevo dimostrare che ,effettivamente, w1 e w2 fossero un sistema di generatori (questo è il mio problema)
in poche-pochissime parole:
tu hai \(B^3:=(e_1,e_2,e_3) \in (\Bbb{R}^3)^3\), inoltre hai un sottospazio vettoriale \(W\) di \(\Bbb{R}^3\) tale che \(W=L((w_1,w_2))\) dove, sviluppando un po, \(w_1=e_1-e_3=(1,0,-1)\) ed \(w_2=2e_1+e_2=(2,1,0)\)! Come vedi subito \(((w_1,w_2))\) é libero su \(\Bbb{R}\) e siccome genera per ipotesi \(W\) allora \(((w_1,w_2))\) é base per \(W\) ma non per \(\Bbb{R}^3\) (hanno dimensione diversa)
per vedere se \((w_1,w_2)\) é libero su \(\Bbb{R}\) procedi con la definizione, ti ritrovi un sistema lineare omogeneo, se il rango della matrice associata a tale sistema é maggiore o uguale al numero delle sue colonne allora ha soluzione unica ed é quella banale ergo \((w_1,w_2)\) sará libero su \(\Bbb{R}\)..
per vedere se un "sistema" di vettori genera o meno un sottospazio devi applicare semplicemente la definizione, oppure riuscire a trovare un vettore che non é contenuto nel sottospazio (nel tuo caso quale/i potrebbe/ro essere?)...
tutto chiaro ora
grazie a tutti e due
grazie a tutti e due
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