Sistema di Generatori
Salve a tutti,
sono alle prese con esercizi del tipo "dato il sistema di vettori {(1,0,1),(0,-1,0)}, stabilire se è un sistema di generatori".
Per definizione io so che se quel sistema è un sistema di generatori, da quei due vettori posso ricavarmi qualsiasi vettore in R^3 (e quindi, secondo definizione, quei due vettori non lo sono). Però, su altri "lidi" ho letto che se la matrice associata ha rango massimo, i vettori sono sistema di generatori...
quel sistema ha effettivamente rango massimo ma ciò va contro la definizione che ho dato in precedenza.. come mai? cosa sto sbagliando?
Grazie in anticipo
sono alle prese con esercizi del tipo "dato il sistema di vettori {(1,0,1),(0,-1,0)}, stabilire se è un sistema di generatori".
Per definizione io so che se quel sistema è un sistema di generatori, da quei due vettori posso ricavarmi qualsiasi vettore in R^3 (e quindi, secondo definizione, quei due vettori non lo sono). Però, su altri "lidi" ho letto che se la matrice associata ha rango massimo, i vettori sono sistema di generatori...
quel sistema ha effettivamente rango massimo ma ciò va contro la definizione che ho dato in precedenza.. come mai? cosa sto sbagliando?
Grazie in anticipo
Risposte
ciao,
innanzitutto il rango da te indicato non è massimo, ma pari a $2$. Se fosse massimo sarebbe stato pari a $3.$
vediamo di fare un po' di chiarezza.
Dato uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$, un insieme ${v_{1},...,v_{n}}$ è un insieme di generatori di V se ogni $v\inV$ si scrive come combinazione lineare di ${v_{1},...,v_{n}}$.
E' altresì vero che , data una matrice $A \in M_{m,n}$, con colonne $c_{1},...,c_{n}$: $rank(A)=m$ se e solo se $c_{1},...,c_{n}$ sono un insieme di generatori.
Nota che devono esserci almeno $n$ vettori che compongono la matrice A, mentre nel tuo caso ne avevi solo 2... te ne sarebbero serviti almeno $3$
Infatti, se il rango è m, allora il sistema lineare $Ax=b$, con $b\in K^{n}$ ammette soluzione.
Ma se ammette soluzione, questo cosa significa?
Significa che $b\inK^{n}$ è combinazione lineare delle colonne di A, che sappiamo essere i candidati generatori
innanzitutto il rango da te indicato non è massimo, ma pari a $2$. Se fosse massimo sarebbe stato pari a $3.$
vediamo di fare un po' di chiarezza.
Dato uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$, un insieme ${v_{1},...,v_{n}}$ è un insieme di generatori di V se ogni $v\inV$ si scrive come combinazione lineare di ${v_{1},...,v_{n}}$.
E' altresì vero che , data una matrice $A \in M_{m,n}$, con colonne $c_{1},...,c_{n}$: $rank(A)=m$ se e solo se $c_{1},...,c_{n}$ sono un insieme di generatori.
Nota che devono esserci almeno $n$ vettori che compongono la matrice A, mentre nel tuo caso ne avevi solo 2... te ne sarebbero serviti almeno $3$
Infatti, se il rango è m, allora il sistema lineare $Ax=b$, con $b\in K^{n}$ ammette soluzione.
Ma se ammette soluzione, questo cosa significa?
Significa che $b\inK^{n}$ è combinazione lineare delle colonne di A, che sappiamo essere i candidati generatori
ciao, innanzitutto grazie per la risposta!
per quanto riguarda l'esercizio, una matrice ha rango massimo se il suo rango è pari al minimo numero di righe o di colonne della matrice ridotta giusto?
riducendo la matrice $((1,0,1),(0,-1,0))$ o equivalentemente $((1,0),(0,-1),(1,0))$ si ottiene una matrice con rango pari a due, quindi rango massimo...
la definizione è quella no? sto seguendo la spiegazione trovata qui: http://www.****.it/lezioni/algebra-lineare/matrici-e-vettori/678-sistema-di-generatori-di-uno-spazio-vettoriale.html (se non posso linkare a siti esterni ,edito)
per quanto riguarda l'esercizio, una matrice ha rango massimo se il suo rango è pari al minimo numero di righe o di colonne della matrice ridotta giusto?
riducendo la matrice $((1,0,1),(0,-1,0))$ o equivalentemente $((1,0),(0,-1),(1,0))$ si ottiene una matrice con rango pari a due, quindi rango massimo...
la definizione è quella no? sto seguendo la spiegazione trovata qui: http://www.****.it/lezioni/algebra-lineare/matrici-e-vettori/678-sistema-di-generatori-di-uno-spazio-vettoriale.html (se non posso linkare a siti esterni ,edito)
Sempre sul sito che hai linkato:
"Il rango è per definizione la dimensione dello spazio generato dalle colonne della matrice. Nel nostro caso le colonne della matrice sono proprio i vettori del candidato sistema di generatori. Se tale dimensione coincide con quella del nostro spazio, allora lo spazio generato dai vettori coinciderà con lo spazio dato."
Come noti $R^3$ è generato da almeno $3$ vettori.
Guardati gli esempi di quella lezione e verificherai che $R^3$ è generato sempre da almeno 3 vettori.
Io la nozione di minore non l'ho mai studiata, fatto sta che se il rango è pari al numero delle righe, allora si ha un sistema di generatori, altrimenti no. Questo per il fatto che ho scritto nella risposta precedente
"Il rango è per definizione la dimensione dello spazio generato dalle colonne della matrice. Nel nostro caso le colonne della matrice sono proprio i vettori del candidato sistema di generatori. Se tale dimensione coincide con quella del nostro spazio, allora lo spazio generato dai vettori coinciderà con lo spazio dato."
Come noti $R^3$ è generato da almeno $3$ vettori.
Guardati gli esempi di quella lezione e verificherai che $R^3$ è generato sempre da almeno 3 vettori.
Io la nozione di minore non l'ho mai studiata, fatto sta che se il rango è pari al numero delle righe, allora si ha un sistema di generatori, altrimenti no. Questo per il fatto che ho scritto nella risposta precedente
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