Sistema di generatori

[asder83]

Ho molti dubbi su alcuni concetti.
esempio. un sistema di meno 3 vettori non può generare R3, perchè significherebbe che esso ha dimensione 2.
ma una base è un sistema di generatori, e capita in molti esercizi di trovare in R3 una base di due vettori linearmente indipendenti.

Chi può chiarire i miei dubbi fornendomi delle definizioni esatte e magari degli esempi ?
e dire cosa c'è di sbagliato in quello che ho scritto.

[asder83]

chi mi aiuta?

[Gold D Roger]

"chry11": capita in molti esercizi di trovare in $mathbb(R^3)$ una base di due vettori linearmente indipendenti.

Negli esercizi si pone $ V sube mathbb(R^3)$;

$V={((x),(y),(z)) in mathbb(R^3) : x+y+z=0}$

Questo sottospazio V di $mathbb(R^3)$ è generato da $mathcal(L)=((-y-z),(y),(z))=((-1),(1),(0)), ((-1),(0),(1))$, pertanto $dim(V)=2$.

Quindi quella che si trova non è la base di $mathbb(R^3)$, ma del suo sottospazio V.

[shiva28]

INSIEME DI GENERATORI
Sia $V$ uno spazio vettoriale. Un insieme di vettori ${vec(u_1),...,vec(u_n)}$ genera $V$ se $span(vec(u_1),...,vec(u_n))=V$.
Se vale quello scritto sopra, ${vec(u_1),...,vec(u_n)}$ è un insieme di generatori di $V$.

BASE
Una Base è un sistema di generatori, ed è inoltre formata da vettori linearmente indipendenti.

[shiva28]

"chry11":capita in molti esercizi di trovare in R3 una base di due vettori linearmente indipendenti.

Una base di $mathbb(R)^3 $ non può essere formata da 2 vettori.
Essa è formata da 3 vettori linearmente indipendenti.
$Dim(mathbb(R)^3)=3$

[asder83]

Senza fare calcoli, perchè possiamo dire che ${(1,2,1),(1,-3,4)}$ non è un sistema di generatori di $R^3$?
la mia risposta è : perchè $dimR^3=3$ non $2$

[Gold D Roger]

"chry11":Senza fare calcoli, perchè possiamo dire che ${(1,2,1),(1,-3,4)}$ non è un sistema di generatori di $R^3$?
la mia risposta è : perchè $dimR^3=3$ non $2$

Esattamente!

[shiva28]

"chry11":Senza fare calcoli, perchè possiamo dire che ${(1,2,1),(1,-3,4)}$ non è un sistema di generatori di $R^3$?
la mia risposta è : perchè $dimR^3=3$ non $2$

La tua risposta è corretta.


Secondo te, dato W:

$W=Span{( ( 1 ),( 2 ),( -3 ) ),( ( -1 ),( 3 ),( 4 ) ) ,( ( 2 ),( -1 ),( -7 ) ) }$

$Dim(W)=?$

[asder83]

$3$

[shiva28]

Sbagliato, è 2. Il terzo vettore è combinazione lineare dei primi due.
Quindi la base di $W$ è formata da 2 vettori linearmente indipendenti:

$ B_W={( ( 1 ),( 2 ),( -3 ) ),( ( -1 ),( 3 ),( 4 ) ) } $

Rileggi bene le due definizioni che ho riportato sopra.
La dimensione di un sottospazio vettoriale $W$, è il numero di vettori che costituiscono una sua Base.

[EveyH]

La differenza fondamentale fra base e sistema di generatori è che una base è un sistema di generatori *linearmente indipendenti*, cioè un sistema di generatori minimale, mentre in un sistema di generatori può esserci anche qualche vettore linearmente dipedente dagli altri. Ovvero, se siamo in R^3, puoi avere un sistema di generatori di R^3 composto anche da 4,5,6...etc vettori, in mezzo a questi 4,5,6 vettori ce ne sono sicuramente 3 che sono linearmente indipendenti, essi sono anche una base. Se in quell'insieme non hai almeno 3 vettori linearmente indipendenti, allora non è un sistema di generatori di R^3 (ma potrebbero esserlo di qualche altro SV con dimensione inferiore a 3).
Ovviamente non puoi avere un sistema di generatori di R^3 composto da 2 soli vettori, ce ne vogliono *minimo* 3. Se sono 3 e sono generatori allora sono anche una base.