Sistema di disequazioni
Ciao a tutti!
Devo risolvere questo esercizio e sono un po' in difficoltà.
Consideriamo il seguente sistema di disequazioni a coefficienti in $\mathbb{Q}$:
$a_0+a_1x_1+...a_kx_k\ne 0$
$b_0+b_1x_1+...b_kx_k\ne 0$
...
$l_0+l_1x_1+...l_kx_k\ne 0$
Come posso dimostrare che ha soluzione ?
Io ho pensato di considerare, per ogni disequazione $a_0+a_1x_1+...a_kx_k\ne 0$, la corrispondente equazione $a_0+a_1x_1+...a_kx_k=0$. L'insieme delle soluzioni di questa genera un sottospazio affine di $\mathbb{Q}^k$, di dimensione $k-1$. Così lo posso fare per tutte le disequazioni del sistema...ma poi come posso continuare? grazie a chi mi saprà aiutare
Devo risolvere questo esercizio e sono un po' in difficoltà.
Consideriamo il seguente sistema di disequazioni a coefficienti in $\mathbb{Q}$:
$a_0+a_1x_1+...a_kx_k\ne 0$
$b_0+b_1x_1+...b_kx_k\ne 0$
...
$l_0+l_1x_1+...l_kx_k\ne 0$
Come posso dimostrare che ha soluzione ?
Io ho pensato di considerare, per ogni disequazione $a_0+a_1x_1+...a_kx_k\ne 0$, la corrispondente equazione $a_0+a_1x_1+...a_kx_k=0$. L'insieme delle soluzioni di questa genera un sottospazio affine di $\mathbb{Q}^k$, di dimensione $k-1$. Così lo posso fare per tutte le disequazioni del sistema...ma poi come posso continuare? grazie a chi mi saprà aiutare
Risposte
Aspettate...ho avuto un'idea: consideriamo i sottospazi affini $V_i$ di $\mathbb{Q}^k$ generati dall'insieme di soluzioni di ogni equazione. Allora posso dire che $\mathbb{Q}^k \setminus \bigcup V_i \ne \emptyset$ e quindi esiste una soluzione per il sistema di disequazioni. E' un ragionamento giusto?
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