Sistema di congruenze

[Darèios89]

[tex]\left\{\begin{matrix}
x\equiv 3(mod 7)\\ x\equiv4(mod6)
\\ x\equiv2(mod5)

\end{matrix}\right.[/tex]

Ora ho visto che si risolvono a due a due, prima quindi risolvo le prime due e pongo:

[tex]3+7k=4+6h[/tex]

E ottengo:

[tex]1=7k+6(-h)[/tex] da cui segue che h=k=1.

E tra gli appunti trovo che la soluzione di conseguenza è:

[tex]x\equiv 10(mod2)[/tex]

Ma perchè? da cosa scaturisce questa soluzione?

[xXStephXx]

$x = 210n +52$

o


$x-=52 (mod 210)$


Mentre

$x-=10 (mod2)$ è sbagliato, equivarrebbe a $x$ divisibile per $2$ e si verifica per tentativi che non va bene.

[Darèios89]

Scusa ma mi sfugge la regola secondo cui tu ottieni il risultato, che calcoli, formule usi e che considerazioni fai?

[xXStephXx]

Purtroppo non ho una conoscienza radicata delle congruenze.
Faccio $mcm(7,6,5)=210$ in questo modo mi trovo un numero divisibile per tutti e tre i numeri. Quindi ora so che se il sistema ha soluzione la devo ricercare tra i numeri inferiori a $210$, perchè $210$ equivale a $0$ secondo i resti delle divisioni di quei 3 numeri. Per cui se non ci sono soluzioni tra $0$ e $209$ non ci saranno manco dopo. Una volta stabilito ciò vado per tentativi, trovando un numero inferiore a $210$ che soddisfa tutte e tre le congruenze (in questo caso non vi vuole molto, procedo analizzando i $7*1 +3$, $7*3+3$, $7*5+3$ vedendo se il risultato soddisfa il sistema, quindi sono arrivato a $7*7+3=52$ e vedendo che soddisfa il sistema ricavo che tutti i numeri del tipo $210n+52$ soddisfano il sistema. (Sempre per il fatto che tutti i multipli di $210$ essendo divisibili sia per $7$ che per $6$ che per $5$ equivalgono a $0$).