Sistema d'equazioni lineari

[leev]

Raga avrei bisogno di aiuto x questo esercizio; ve lo scrivo tutto, anke se la parte (a) dovrei averla risolta (però se qualcuno mi esplicita la matrice S per verificare non è male ); Per la b) invece non so proprio da dove iniziare!

a)
Diagonalizzare la matrice A:
-5 0 7
6 2 -6
-4 0 6

ed esplicitare la matrice di trasformazione S [quella per cui D=S-1 * A * S]

b)
Risolvere il sistema di equazioni lineari differenziali:

con le condizioni iniziali X1(0)=-1 , X2(0)=1 , X3(0)=2

L.L

[Elijah82]

il trucco è proprio diagonalizzare A. una volta diagonalizzata, si ha un nuovo sistema
Y' = D Y
dove D è diagonale, pertanto ogni equazione è indipendente dalle altre. Infatti se D è la diagonale di elementi k1, k2, k3, si ha
Y'1 = k1 Y1
Y'2 = k2 Y2
Y'3 = k3 Y3

dunque Y = exp(D * t) * C
Y1 = exp(k1 * t) * c1
Y2 = exp(k2 * t) * c2
Y3 = exp(k3 * t) * c3

a questo punto devi trovare le X. si ha
A = S * D * S^(-1)
X = exp(A * t) = exp(S * D * S^(-1) * t) = S * exp(D * t) * S^(-1) = S * Y * S^(-1)

dove Y l'hai già trovato, ed è una funzione di t
la penultima uguaglianza andrebbe spiegata con qualche passaggio... se ti interessa fammi sapere, sennò prendila per buona!

[Elijah82]

ah, per finire devi trovare i parametri c1, c2, c3. hai
X1(t) = qualche funzione di t e c1, c2, c3 (es X(t) = 3*e^t -2*e^(-2t))
X2(t) = qualche funzione di t e c1, c2, c3
X3(t) = qualche funzione di t e c1, c2, c3
sostituisci a t=0, X1=-1, x2=2 e determini c1, c2, c3 risolvendo il sistema 3x3.

[leev]

Grazie elijah82, dovrei essere più in chiaro.
Praticamente devo trovare le c, poi le y, e di conseguenza trovare le x, tramite la matrice S.

Cmq, per quanto riguarda le c1,c2,c3 non dovrebbero essere moltiplicate invece ke sommate?!?

Inoltre, qualcuno mi saprebbe dire se questi valori per l'esercizio (a) sono tra le soluzioni possibili:
la matrice diagonale D:
2 0 0
0 2 0
0 0 -1
la matrice S:
0 1 7/4
1 0 -3/2
0 1 1

L.L

[Elijah82]

hai ragione, dovrebbero essere moltiplicate... be' vuol dire che hai capito!

[leev]

la cosa che mi sfugge è:
io ho i valori x1(0), .., x3(0)
ma non avrei bisogno dei valori y1(0)...y3(0) ?
Cioè, l'equazione per le y = exp(k * t) * c l'ho; ma per le x?

L.L

[Elijah82]

le x le trovi facendo la trasformazione inversa, come ti avevo scritto:

X = S * Y * S^(-1)

a questo punto applichi le condizioni iniziali.

[Elijah82]

le matrici che hai trovato comunque sono giuste. siccome

D = S^(-1) * A * S

si ha

S * D = A * S

fai i due prodotti e verifichi che l'uguaglianza sia soddisfatta.