Sistema con più incognite che equazioni.

[paolodocet]

Buonasera a tutti. Vorrei proporvi una domanda di algebra lineare, relativamente ad un sistema lineare.

Se consideriamo un sistema lineare del tipo:

$[A] [X] = $

Caratterizzato da un numero di incognite superiore al numero di equazioni, si può dire che posso scegliere i coefficienti della matrice $[A]$ in modo tale il sistema abbia soluzioni e che la somma di due di esse sia ancora una soluzione del sistema lineare?

Si sa che un sistema con più incognite che equazioni ha sempre soluzioni, e che per il teorema di Rouche-Capelli, il sistema sarà sempre indeterminato. Ma non riesco a trovare un esempio per spiegare la "definizione" di sopra.

Qualcuno che mi possa aiutare?
Grazie e buona serata.

[minomic]

Ciao,

"paolodocet":Si sa che un sistema con più incognite che equazioni ha sempre soluzioni

di questo non sono convinto...
\[
\begin{cases}
x+y+z=1 \\ x+y+z = 2
\end{cases}
\] non ammette soluzioni e il motivo è proprio per il teorema di Rouchè-Capelli: il rango dell'incompleta è $1$ mentre quello della completa è $2$.

[paolodocet]

Bhe, il tuo esempio non fa una piega. Hai ragione.
Se però il rango della matrice incompleta fosse massimo, allora sicuramente il sistema avrebbe soluzioni, vero?

[minomic]

Sì, in quel caso sì e la cosa è anche facile da dimostrare: il caso che tu descrivi è quello in cui la matrice incompleta è $m xx n$ con $n>m$. Il rango massimo che può avere è quindi $m$. Se effettivamente il suo rango è $m$ allora quando aggiungi la colonna dei coefficienti ottieni una matrice $m xx (n+1)$ il cui rango massimo è sempre $m$. Quindi il rango della completa è uguale a quello della incompleta e il sistema ammette soluzioni.

[paolodocet]

Perfetto minomic. Tra le possibili risposte, infatti c'era anche questa. Solo che avevo letto da qualche parte la "definizione"

"paolodocet":Si sa che un sistema con più incognite che equazioni ha sempre soluzioni

e dunque, credevo che indipendentemente dal rango massimo della matrice incompleta allora il sistema ammetteva soluzioni. Mi sbagliavo, grazie dell'aiuto.

[minomic]

Prego!