Sistema con parametro
Ciao a tutti, vorrei sapere se ho risolto correttamente questo esercizio...spero abbiate la pazienza di darci uno sguardo 
Sia dato il seguente sistema lineare
$\{(x + 2y - hz + t = h+1),(x + hy - 2z + t = 0),(2x - hy - 2ht = 0):}$
1) Si discuta il sistema al variare del parametro reale $h$
Dunque io ho rappresentato le due matrici:
$A$ = $((1,2,-h,1),(1,h,-2,1),(2,-h,0,-2h))$
$A'$ = $((1,2,-h,1,h+1),(1,h,-2,1,0),(2,-h,0,-2h,0))$
Ho considerato il minore costituito dalle prime tre colonne della matrice incompleta. Il determinante risulta non nullo per $h$ $!= 2$ , $h$ $!= -4/3$ e allora ho stabilito che per quei valori il sistema è compatibile: sostituendo nelle matrici $h=2$, infatti, $r(A)=2$ mentre $r(A')=3$.
Per $h=4/3$ non ho ancora verificato, ma volevo sapere, è sufficiente (e giusto) questo procedimento per stabilire se il sistema è compatibile?
Quello che mi confonde è, per stabilire il rango devo considerare per prima la matrice incompleta o quella completa?
Ho inoltre scritto che, se il sistema è compatibile, con $p=3$ , $n=4$, le soluzioni saranno $oo^1$ . E' corretto?
2) Si risolva il sistema per $h=-1$, se possibile.
Avendo prima stabilito che il sistema è compatibile e ammette $oo^1$ soluzioni $AA$ $h$ $!= 2$ , $h$ $!= -4/3$, posso dire che essendo ovviamente $-1$ diverso da quei valori, il sistema ammette $oo^1$ soluzioni?
Vi ringrazio anticipatamente.
Sia dato il seguente sistema lineare
$\{(x + 2y - hz + t = h+1),(x + hy - 2z + t = 0),(2x - hy - 2ht = 0):}$
1) Si discuta il sistema al variare del parametro reale $h$
Dunque io ho rappresentato le due matrici:
$A$ = $((1,2,-h,1),(1,h,-2,1),(2,-h,0,-2h))$
$A'$ = $((1,2,-h,1,h+1),(1,h,-2,1,0),(2,-h,0,-2h,0))$
Ho considerato il minore costituito dalle prime tre colonne della matrice incompleta. Il determinante risulta non nullo per $h$ $!= 2$ , $h$ $!= -4/3$ e allora ho stabilito che per quei valori il sistema è compatibile: sostituendo nelle matrici $h=2$, infatti, $r(A)=2$ mentre $r(A')=3$.
Per $h=4/3$ non ho ancora verificato, ma volevo sapere, è sufficiente (e giusto) questo procedimento per stabilire se il sistema è compatibile?
Quello che mi confonde è, per stabilire il rango devo considerare per prima la matrice incompleta o quella completa?
Ho inoltre scritto che, se il sistema è compatibile, con $p=3$ , $n=4$, le soluzioni saranno $oo^1$ . E' corretto?
2) Si risolva il sistema per $h=-1$, se possibile.
Avendo prima stabilito che il sistema è compatibile e ammette $oo^1$ soluzioni $AA$ $h$ $!= 2$ , $h$ $!= -4/3$, posso dire che essendo ovviamente $-1$ diverso da quei valori, il sistema ammette $oo^1$ soluzioni?
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Secondo me devi verificare che per i valori di $h$ che escludi TUTTI i minori di ordine 3 siano nulli. Mi spiego: se per $h=-4/3$ il minore costituito dalle prime tre colonne si annulla, non è detto che si annulli anche quello costituito da altre tre colonne. Capito?
Quello che hai detto tu l'ho verificato già per $h=2$, infatti per questo valore, le prime due righe della matrice $A$ risultano uguali, pertanto $r(A) != 3$, mentre, nella matrice completa, considerando il minore formato dalle ultime tre colonne, il determinante, per $h=2$ non si annulla e i ranghi, come ho detto sopra, sono diversi. Se sono diversi il sistema è incompatibile per $h=2$.
Se, come hai detto tu, tutti i minori di ordine $3$ fossero nulli per quel valore, il sistema potrebbe ancora essere compatibile se le matrici avessero rango $2$ no?
Provo a verificare questa cosa anche per $h=-4/3$ naturalmente. Il procedimento è giusto, quindi? Grazie della risposta per ora
Se, come hai detto tu, tutti i minori di ordine $3$ fossero nulli per quel valore, il sistema potrebbe ancora essere compatibile se le matrici avessero rango $2$ no?
Provo a verificare questa cosa anche per $h=-4/3$ naturalmente. Il procedimento è giusto, quindi? Grazie della risposta per ora
Il procedimento mi sembra giusto, alla fine è solo l'applicazione del Teorema di Kronecker-Rouché-Capelli, che poi si riduce a calcolare i ranghi di due matrici.
Se la matrice dei coefficienti ha rango 2 e quella orlata anche, va bene lo stesso.
Se la matrice dei coefficienti ha rango 2 e quella orlata anche, va bene lo stesso.
Ok, ti ringrazio ma mi è venuto un altro dubbio 
Va bene dire che le soluzioni sono $oo^1$ oppure, siccome $n=4$ e $p=3$, devo trasformare $n-p$ incognite (in questo caso, quindi, una sola) in parametri e risolverlo con Cramer? Ha senso?
ma mi è venuto un altro dubbio Va bene dire che le soluzioni sono $oo^1$ oppure, siccome $n=4$ e $p=3$, devo trasformare $n-p$ incognite (in questo caso, quindi, una sola) in parametri e risolverlo con Cramer? Ha senso?
Se devi solo dire quante sono le soluzioni, va bene dire che sono $+oo^1$. Se invece devi anche esprimere le soluzioni, allora risolvi il sistema.
Se proprio ci tieni usa Cramer, ma è uno dei metodi più scomodi per un sistema più grande di $2x2$, IMHO
Se proprio ci tieni usa Cramer, ma è uno dei metodi più scomodi per un sistema più grande di $2x2$, IMHO
A lezione abbiamo sempre usato Cramer 
comunque l'esercizio chiedeva soltanto il numero delle soluzioni, se sono da determinare allora uso i parametri, ma non mi è mai capitato di doverlo fare: i parametri vanno spostati nella colonna dei termini noti? 
scusate le domande demenziali, ma a volte vengono i dubbi su ogni sciocchezza
comunque l'esercizio chiedeva soltanto il numero delle soluzioni, se sono da determinare allora uso i parametri, ma non mi è mai capitato di doverlo fare: i parametri vanno spostati nella colonna dei termini noti? scusate le domande demenziali, ma a volte vengono i dubbi su ogni sciocchezza
È solo una questione di gusti, come cambiargli nome e chiamarli $t_i$.
Per esprimere una incognita devi scrivere un'equazione nella forma $x_i = ...$, quindi alla fine i parametri saranno a secondo membro.
Per esprimere una incognita devi scrivere un'equazione nella forma $x_i = ...$, quindi alla fine i parametri saranno a secondo membro.
Ho capito. Ho appena trasformato l'incognita $t$ in parametro, ma non va inclusa nell'insieme delle soluzioni, vero?
Voglio dire, per $h=-1$ , $S={-t,0,0}$ oppure $S={-t,0,0,t}$ ? Chiedo ancora scusa
Voglio dire, per $h=-1$ , $S={-t,0,0}$ oppure $S={-t,0,0,t}$ ? Chiedo ancora scusa
Dunque, siccome il sistema di partenza era a 4 incognite, le soluzioni devono essere quaterne di numeri, quindi la seconda va bene.
Grazie mille!!!! 
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