Sistema con parametro
(Algebra lineare sta diventando il mio incubo o.O)
Ciao! Ho questo sistema parametrico formata da 1) (k+3)x-3y=k ; 2) -3x+(k+1)y=-k
L'esercizio mi chiede di trovare i valori di K per cui il sistema ha un'unica soluzione.
Allora io dopo aver riscritto il sistema in forma matriciale del tipo Ax=B procedo nel vedere se il sistema ha possibili soluzioni, e volendo applicare Cramer vado a vedere se il rango di A è uguale al rango di Ab, quindi prima faccio il determinante di A e vedo che per K= -4 + radice di 2/2 e K= -4 - radice di 2/2 il mio determinante è zero quindi il rango vale 1, mentre per valori diversi da K appena scritto il rango è uguale a 2.
Allora passo a studiare i minori della matrice Ab e vedo che nel caso in cui prendo la prima colonna e la terza ottengo che il determinante è diverso da zero per K diverso da zero e il rango è 2, mentre per k=0 il determinante è zero e allora il rango è uguale a 1, poi passo a studiare il secondo minore questa volta prendo la seconda e la terza colonna, stessa storia faccio il determinante e mi viene che per K= + radice di 2 e K=- radice di 2 il mio det vale zero e il rango è 1, mentre per k diverso da - radice di 2 e + radice di 2 il rango è 2.
Adesso io so che il sistema ha soluzioni se e solo se il rango di A è uguale al rango di Ab questo vuol dire che il mio sistema ha soluzioni per i valori di K diversi da quelli che ho ottenuto?
Poi vorrei capire se i calcoli che ho fatto sono sbagliati o se invece non riesco ad interpretare i risultati.
Inoltre so che se il rango di A è uguale al rango di Ab che è uguale a r nel mio caso 2, e il numero n di colonne che in questo caso è 2 è uguale a r, ed è così perché 2=2, allora ho un un'unica soluzione, ma non capisco quale :/
Ciao! Ho questo sistema parametrico formata da 1) (k+3)x-3y=k ; 2) -3x+(k+1)y=-k
L'esercizio mi chiede di trovare i valori di K per cui il sistema ha un'unica soluzione.
Allora io dopo aver riscritto il sistema in forma matriciale del tipo Ax=B procedo nel vedere se il sistema ha possibili soluzioni, e volendo applicare Cramer vado a vedere se il rango di A è uguale al rango di Ab, quindi prima faccio il determinante di A e vedo che per K= -4 + radice di 2/2 e K= -4 - radice di 2/2 il mio determinante è zero quindi il rango vale 1, mentre per valori diversi da K appena scritto il rango è uguale a 2.
Allora passo a studiare i minori della matrice Ab e vedo che nel caso in cui prendo la prima colonna e la terza ottengo che il determinante è diverso da zero per K diverso da zero e il rango è 2, mentre per k=0 il determinante è zero e allora il rango è uguale a 1, poi passo a studiare il secondo minore questa volta prendo la seconda e la terza colonna, stessa storia faccio il determinante e mi viene che per K= + radice di 2 e K=- radice di 2 il mio det vale zero e il rango è 1, mentre per k diverso da - radice di 2 e + radice di 2 il rango è 2.
Adesso io so che il sistema ha soluzioni se e solo se il rango di A è uguale al rango di Ab questo vuol dire che il mio sistema ha soluzioni per i valori di K diversi da quelli che ho ottenuto?
Poi vorrei capire se i calcoli che ho fatto sono sbagliati o se invece non riesco ad interpretare i risultati.
Inoltre so che se il rango di A è uguale al rango di Ab che è uguale a r nel mio caso 2, e il numero n di colonne che in questo caso è 2 è uguale a r, ed è così perché 2=2, allora ho un un'unica soluzione, ma non capisco quale :/
Risposte
Non ho capito molto bene il tuo ragionamento.
Prendiamo questo sistema:
${((k+3)x -3y = k),(-3x+(k+1)y = -k):}$
A questo punto ti scrivi la matrice completa associata al sistema, la riduci a scala a poi con il teorema di Rouchè-Capelli determini se il sistema ha o meno soluzione.
A cosa ti serve calcolare il determinante e i minori della matrice?
Prendiamo questo sistema:
${((k+3)x -3y = k),(-3x+(k+1)y = -k):}$
A questo punto ti scrivi la matrice completa associata al sistema, la riduci a scala a poi con il teorema di Rouchè-Capelli determini se il sistema ha o meno soluzione.
A cosa ti serve calcolare il determinante e i minori della matrice?
Mentre cercavo di spiegarmi quello che stavo facendo nel momento in cui ho realizzato che non aveva senso ho semplicemente fatto quello che mi hai detto anche tu, all'inizio pensavo che bisognava considerare tutti i minori e vedere le soluzioni al variare di K, poi ragionandoci ho capito che non era possibile o.O so che dico cose che mettono i brividi ai matematici XD ma ora ho capito, grazie anche alle persone gentili di questo forum che mi hanno aiutato moltissimo precedentemente : ) grazie anche a te per avermi risposto!
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