Sistema con algoritmo di Gauss-Jordan

[giuseppeferrara96]

Ciao a tutti, vi chiedo una mano con questo esercizio.
Bisogna risolvere il sistema seguente con l'algoritmo di Gauss-Jordan

$ { ( -2x-4y-z=2 ),( x+2y+z=-2 ),( 3x+6y=0 ),( x+2y-z=2 ):} $

che noto subito essere un sistema di 4 equazioni in 3 incognite, quindi una sarà sicuramente da scartare in quanto il rango massimo di A (matrice dei coefficienti delle incognite) sarà al massimo 3.
Andando ad eseguire le mosse di Gauss sulla matrice completa, mi trovo che il sistema è compatibile, perchè il rango della matrice completa, e della matrice incompleta è pari a 2.

Mi trovo la seguente matrice (ometto tutti i conti, spero non vi arrabbierete)

$ ( ( -2 , -4 , -1 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $

che ha 2 pivot. Applicando un'altra mossa di Gauss, per ridurre a scala ridotta ottengo

$ ( ( 1 , 2 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $

E qui mi blocco. Come posso determinare le $ oo ^1 $ soluzioni?

[Jokah]

In realtà quando applichi l'ultimo passaggio sommando la prima e la seconda riga dovresti ottenere la matrice:

\(\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\)

Sono dunque soluzioni tutti quei vettori per cui si ha che:

\(x+2y = 0 \\ z = -2\)

Cioè sono tutti quelli della forma: \((-2y, y, -2)\) e li puoi scrivere come: \(y(-2,1,0) + (0,0,-2)\), cioè come una traslazione dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato.

Potresti scrivere le soluzioni come retta in forma parametrica, nel modo che segue:

\(x = -2t \\ y = t \\ z = -2\)

[giuseppeferrara96]

Hai ragione, ho sbagliato i conti nell’ultimo passaggio.