Sistema con 4 equazioni, tre incognite e un parametro
Salve a tutti ragazzi, vorrei chiedervi una mano su un sistema che mi sta facendo impazzire.
$ { ( x + ay + (1+a)z = -a ),( (1+a)x + ay + z = 1-a ),( x + 2ay + z = 1-2a ),( 2x + 2y + 2z = -1 + 2a ):} $
Vorrei che cortesemente mi aiutaste nei calcoli. Io ho proceduto da routine, calcolando il determinante della matrice 4x4 del sistema, seguendo ad ogni volta vari metodi: quello di Laplace, Laplace + Sarrus... ho provato anche il metodo di riduzione di Gauss, tuttavia non sono riuscito a ridurla completamente a forma triangolare perché a un certo punto mi blocco. Ad ogni modo, calcolato il determinante in funzione di a, non mi è possibile trovare il valore di a, dato che viene sempre un'equazione di 4° grado! Non avendo il valore di a da sostituire nel sistema, non so proprio come procedere. Mi date una mano?
PS: un mio amico afferma di esserci riuscito, ma lui utilizza un metodo di gauss che non ho mai visto applicare: ad esempio alla terza riga sottrae la prima, ottenendo la nuova riga chiamata ad esempio 3'. Per ridurre la prima non sottrae però 3' (non sarebbe utile), ma la vecchia 3! Insomma, a me non pare un metodo valido... ma lui si ostina a dire che il suo "professore" ha detto che è giusto... io mi rimetto a voi.
$ { ( x + ay + (1+a)z = -a ),( (1+a)x + ay + z = 1-a ),( x + 2ay + z = 1-2a ),( 2x + 2y + 2z = -1 + 2a ):} $
Vorrei che cortesemente mi aiutaste nei calcoli. Io ho proceduto da routine, calcolando il determinante della matrice 4x4 del sistema, seguendo ad ogni volta vari metodi: quello di Laplace, Laplace + Sarrus... ho provato anche il metodo di riduzione di Gauss, tuttavia non sono riuscito a ridurla completamente a forma triangolare perché a un certo punto mi blocco. Ad ogni modo, calcolato il determinante in funzione di a, non mi è possibile trovare il valore di a, dato che viene sempre un'equazione di 4° grado! Non avendo il valore di a da sostituire nel sistema, non so proprio come procedere. Mi date una mano?
PS: un mio amico afferma di esserci riuscito, ma lui utilizza un metodo di gauss che non ho mai visto applicare: ad esempio alla terza riga sottrae la prima, ottenendo la nuova riga chiamata ad esempio 3'. Per ridurre la prima non sottrae però 3' (non sarebbe utile), ma la vecchia 3! Insomma, a me non pare un metodo valido... ma lui si ostina a dire che il suo "professore" ha detto che è giusto... io mi rimetto a voi.
Risposte
ciao ho provato a risolvere il tuo ex..ma con i classici metodi le possibilita di sbaglare sono molto elevate....
ora non ridermi in faccia....ma
..ho provato a ragionare sul sistema e sostituire ad a numeri appartenenti ad R......se a=0 cosa ottieni......!?.(secondo me è incompatibile per ogni a)......lo so non è assolutamente seria come risposta ma magari ti aiuta a pensare ad altri metodi...fammi sapere...
ora non ridermi in faccia....ma
..ho provato a ragionare sul sistema e sostituire ad a numeri appartenenti ad R......se a=0 cosa ottieni......!?.(secondo me è incompatibile per ogni a)......lo so non è assolutamente seria come risposta ma magari ti aiuta a pensare ad altri metodi...fammi sapere...
anzi.......per a =1\2 dovrebbe essere r(A)=r(A|b)=3 ......!?
Ehm... ma così si ragionerebbe per tentativi...
cosa ti chiede l esercizio di preciso!?....
Risolvere il sistema al variare del parametro a. Si tratta di riuscire a capire quanto a debba valere all'interno del sistema... o si riduce col metodo di gauss a matrice triangolare superiore o si pone uguale a 0 il determinante calcolato in funzione di a. Le due cose sonno assolutamente equivalenti... ma il difficile è proprio arrivare ad avere un determinante di primo grado da porre uguale a 0 o di riuscire a ridurla a forma triangolare...
"Ciuppolo":
ma il difficile è proprio arrivare ad avere un determinante di primo grado da porre uguale a 0
$|(1,a,a+1),(1,2a,1),(2,2,2)|=-2a(2a-1)$
$|(1,a,-a),(a+1,a,1-a),(2,2,2a-1)|=-a^2(2a+1)$
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