Sistema, compatibilità?

[SandroBelgiorno]

Si discuta, al variare del parametro reale k, la compatibilità del sistema:

$\{(kx1+ x3 = 0),(kx1 + x2 + x3 = 2k),(x1 + kx2 + x3 = 2k):}$



Si indichino le soluzioni in corrispondenza degli eventuali valori di k per cui il sistema è compatibile.
Allora procedo nel calcolare il determinante che mi viene: k-1
quindi so che per K $!=$ 1 il sistema è compatibile.
Procedo con Cramer e mi trovo le tre soluzioni ossia:
$x_1=2k$
$x_2=2k$
$x_3= (2k^2-2k^3)/(k-1)$
fin qui guardando le soluzioni dal libro mi trovo, ovvero che se k è diverso da 1 si ammette una sola soluzione che sono le tre x trovate.
Però il libro mi da come soluzione anche per K=1
e mi dice che per questo valore di K si ammettono infinite soluzioni
ossia:
$x_1= -x_3$
$x_2= 2$
Il mio dubbio è, se K=1 il determinante diventa nullo, quindi il sistema dovrebbe essere incompatibile, perchè invece il libro mi da anche come soluzione per k=1? spero possiate aiutarmi... e scusate per le formule, sono nuovo

[lordb]

Ciao e benvenuto, veniamo al duque:

1) scrivo il sistema in forma matriciale: ($A$ matrice incompleta e $C$ matrice completa):

$((k,0,1|0),(k,1,1|2k),(1,k,1|2k))$

$A in M_3(RR) ^^ C in M_(3x4)(RR) => rank(A)<=3 ^^ rank(C)<=3$

Poichè $|((0,1),(1,1))|!=0 => rank(A)=2 vv rank(A)=3$

$rank(A)=2 <=> |((k,0,1),(k,1,1),(1,k,1))|=0 <=> k=1$

Quindi $rank(A)=2 <=> k=1 $ e $ rank(A)=3 <=> k!=1$

Il sistema ammette soluzione $<=> rank(A)=rank(C)$

Posto $k=1$, $2=rank(A)=rank(C)<=>|((0,1,0),(1,1,2k),(k,1,2k))|=0 <=> k=0 vv k=1 $ quindi ok!

Posto $k!=1$, $3=rank(A)=rank(C)$

Ricapitolando:

Per $k=1$ $rank(A)=2=rank(C)$
Per $k!=1$ $rank(A)=3=rank(C)$

[SandroBelgiorno]

Allora...rango della matrice completa è 3, quindi avendo trovato determinante k-1, so che per
$k=1$
il determinante diventa nullo, quindi per $k=1$ il minore ha determinante non nullo e c'è quindi rango uguale a 2
Trovato il minore che abbia determinante diverso da zero, posso dire che per quel valore ovvero
$k=1$
il sistema ammette infinite soluzioni, vero?

[lordb]

Per $k=1 text{ }rank(A)=2=rank(C) => dim(Sol)=3-2=1 => text{numero soluzioni:} oo^1=oo$
Per $k!=1text{ } rank(A)=3=rank(C)=> dim(Sol)=3-3=0 => text{numero soluzioni:} oo^0=1$

[SandroBelgiorno]

ok, grazie

[lordb]

Di niente

[SandroBelgiorno]

Ciao, scusa se ti disturbo sempre, potresti vedere anche qua?
sistema-di-equazioni-lineari-t102644.html

E' quasi simile a questa, dal libro mi dice che per valori $K=0,2$ non ammette soluzioni, ma facendo il ragionamento di questo topic, mi verrebbe da dire che ammette infinite soluzioni, potresti aiutarmi al riguardo?

[lordb]

Ok no problem