Sistema compatibile e valori di t che lo rendono tale
Salve a tutti,
vorrei chiedere una cosa che mi sta facendo scervellare.
Sto facendo l'esercizio a pag 118, il 7.14 di questo eserciziario: http://www.dsi.unive.it/~acarraro/Eserc ... eare_2.pdf
Lo riporto qui per completezza:
Ho fatto l'esercizio con i miei passaggi, il mio modo di pensare e mi è venuta fuori la matrice:
1 -1 | t-2
0 4-2t | -2
0 0 | -2+4t-2t^2
la mia risposta alla domanda a sarebbe: il sis. è compatibile se rg(A) = rg(A|b), quindi -2+4t-2t^2 deve essere necessariamente 0. Cio capita quando t=1 .
Tutto, secondo me, fila liscio...però poi vado a vedere la soluzione dell'eserciziario e mi trovo una cosa completamente diversa. Come mai? La riduzione a gradini ha portato a due matrici completamente diverse, ma i valori di t per i quali il sis è compatibile dovrebbero essere gli stessi no?
vorrei chiedere una cosa che mi sta facendo scervellare.
Sto facendo l'esercizio a pag 118, il 7.14 di questo eserciziario: http://www.dsi.unive.it/~acarraro/Eserc ... eare_2.pdf
Lo riporto qui per completezza:
Si consideri il sistema di equazioni lineari:
x1 − x2 = t − 2
tx1 + (t − 4)x2 = 0
2x1 + (2 − 2t)x2 = 2t − 4
(t parametro reale)
a) Si dica per quali valori di t il sistema `e compatibile.
b) Per i valori di t che rendono il sistema compatibile, trovare le sue soluzioni.
Ho fatto l'esercizio con i miei passaggi, il mio modo di pensare e mi è venuta fuori la matrice:
1 -1 | t-2
0 4-2t | -2
0 0 | -2+4t-2t^2
la mia risposta alla domanda a sarebbe: il sis. è compatibile se rg(A) = rg(A|b), quindi -2+4t-2t^2 deve essere necessariamente 0. Cio capita quando t=1 .
Tutto, secondo me, fila liscio...però poi vado a vedere la soluzione dell'eserciziario e mi trovo una cosa completamente diversa. Come mai? La riduzione a gradini ha portato a due matrici completamente diverse, ma i valori di t per i quali il sis è compatibile dovrebbero essere gli stessi no?
Risposte
up
nessuno può aiutarmi? qusto problema mi capita con parecchi esercizi...
Ciao, così ho tentato di svolgere l'esercizio, dimmi se ti convince.
Prima di tutto identifichiamo la matrice completa e quella incompleta.
Sia $A$ la matrice incompleta: $ ( ( 1 , -1 ),( t , t-4 ),( 2 , 2-2t ) ) $
Sia $C$ la matrice completa: $ ( ( 1 , -1 , t-2 ),( t , t-4 , 0 ),( 2 , 2-2t , 2t-4 ) ) $
Il sistema dato è compatibile se il rango della matrice completa coincide con il rango della matrice incompleta. Calcoliamo quindi il determinante della matrice completa e vediamo per quali valori di t esso è nullo.
Mi risparmio nel scrivere lo svolgimento dei calcoli per il determinante, ho controllato anche computazionalmente, il determinante è pari a: $-2t(t^2-4t+4)$, questo si annulla per $t=0$ e $t=2$.
Quindi, per valori di $t$ diversi da zero e due, il sistema non ammette soluzioni, infatti il rango della matrice completa sarebbe pari a 3, mentre il rango della matrice incompleta deve essere pari o minore a 2 in qualsiasi caso.
Dobbiamo quindi procedere sostituendo al sistema lineare in analisi questi due valori di $t$ e controllare i rispettivi ranghi delle matrici.
Per $t=0$:
Si consideri la matrice completa. Il rango è esattamente 2: esiste almeno un minore di ordine 2 il cui determinante non è nullo. Per tale valore di $t$, anche la matrice incompleta ha rango pari a 2, quindi il sistema è compatibile per $t=0$;
Per $t=2$
Si considera la matrice incompleta. Per tale valore di $t$ il rango è pari a 1 poiché non esistono minori di ordine 2 il cui determinante non sia nullo. Stessa cosa vale per la matrice incompleta, che avrà rango pari a 1. Dunque il sistema è compatibile per tale valore di $t$.
Serve che ti fornisca pure il procedimento risolutivo del sistema per ambo i valori di $t$?
Ciao
Prima di tutto identifichiamo la matrice completa e quella incompleta.
Sia $A$ la matrice incompleta: $ ( ( 1 , -1 ),( t , t-4 ),( 2 , 2-2t ) ) $
Sia $C$ la matrice completa: $ ( ( 1 , -1 , t-2 ),( t , t-4 , 0 ),( 2 , 2-2t , 2t-4 ) ) $
Il sistema dato è compatibile se il rango della matrice completa coincide con il rango della matrice incompleta. Calcoliamo quindi il determinante della matrice completa e vediamo per quali valori di t esso è nullo.
Mi risparmio nel scrivere lo svolgimento dei calcoli per il determinante, ho controllato anche computazionalmente, il determinante è pari a: $-2t(t^2-4t+4)$, questo si annulla per $t=0$ e $t=2$.
Quindi, per valori di $t$ diversi da zero e due, il sistema non ammette soluzioni, infatti il rango della matrice completa sarebbe pari a 3, mentre il rango della matrice incompleta deve essere pari o minore a 2 in qualsiasi caso.
Dobbiamo quindi procedere sostituendo al sistema lineare in analisi questi due valori di $t$ e controllare i rispettivi ranghi delle matrici.
Per $t=0$:
Si consideri la matrice completa. Il rango è esattamente 2: esiste almeno un minore di ordine 2 il cui determinante non è nullo. Per tale valore di $t$, anche la matrice incompleta ha rango pari a 2, quindi il sistema è compatibile per $t=0$;
Per $t=2$
Si considera la matrice incompleta. Per tale valore di $t$ il rango è pari a 1 poiché non esistono minori di ordine 2 il cui determinante non sia nullo. Stessa cosa vale per la matrice incompleta, che avrà rango pari a 1. Dunque il sistema è compatibile per tale valore di $t$.
Serve che ti fornisca pure il procedimento risolutivo del sistema per ambo i valori di $t$?
Ciao
"final444h":
** cut **
Ciao,
innanzitutto grazie per l'aiuto!
discutendo il metodo del determinante che hai usato, sì son d'accordo con i tuoi risultati (infatti ti trovi con quelli di claretta carrara) però rifacendoli su carta (per esercitarmi), sia con sarrus che con laplace mi trovo risultati diversi...saresti così gentile da scrivere lo svolgimento?
Ora, una volta appurato che t deve essere uguale a 2 o a 0, hai semplicemente sostituito questi valori alle "t" nella matrice ridotta a scalini per poi calcolarti il rango giusto? (io così faccio)
In ogni caso, il problema iniziale era il perchè riducendo la matrice con passaggi diversi da quelli che vengono riportati nell'eserciziario, mi trovo con risultati diversi (su moltissimi esercizi).
Ad esempio, la matrice in questione io l'ho ridotta così:
ho controllato i calcoli più e più volte... se ho sbagliato qualcosa sono un idiota xD.
Comunque, la matrice finale ottenuta è questa:
[tex]\left( \begin{array}{cc|c}
1&-1&t-2\\
0&4-2t&-2\\
0&0&-2-2t^2+4t\\
\end{array}\right)[/tex]
Il sistema è compatibile se rg(A) = rg(A|b), quindi -2-2t^2+4t deve essere per forza di cose 0. Ciò capita quando t = 1.
Possibile che con la mia riduzione, la risposta sia t=1 mentre invece con i vostri risultati, la risposta sia t= 2 o 0? devo aver sbagliato sicuramente qualcosa... ma cosa?
Nessun problema!
Per quanto riguarda il determinante uso sempre Laplace, te lo sviluppo per righe:
Considera la matrice completa $C=( ( 1 , -1 , t-2 ),( t , t-4 , 0 ),( 2 , 2-2t , 2t-4 ) )$
Procedi individuando una riga della matrice che abbia più zeri possibile, in questo caso direi la seconda, ed inizia a calcolare il determinante della matrice:
$ det(C)=-t(det( ( -1 , t-2 ),( 2-2t , 2t-4 ) ) )+(t-4)(det( ( 1 , t-2 ),( 2 , 2t-4 ) ) )-0(det( ( 1 , -1 ),( 2 , 2-2t ) ) ) $
Giusto per precisare, non si sa mai, $t$ e $0$ cambiano segno poiché la somma dei loro indici delle relative righe e colonne è dispari (es $t$ è situato alla seconda riga della matrice, colonna 1, quindi $2+1=3$). Nel caso di $t-4$, invece, il segno si mantiene poiché la somma dell'indice della sua relativa riga e colonna è pari (riga 2, colonna 2, $2+2=4$, pari).
Puoi immediatamente levare il terzo blocco perché è moltiplicato per zero, per il resto hai:
$ -t[-2t+4-(2-2t)(t-2)]+(t-4)(2t-4-2t+4) $
Il blocco che moltiplicata $(t-4)$ è nullo, svolgiamo quindi i calcoli del primo:
$ -t[-2t+4-(2t-4-2t^2+4t)] $
$ -t(2t^2-8t+8) $
Prima soluzione: $-t=0$, quindi $t=0$;
Seconda soluzione: $2t^2-8t+8=0$, è un'equazione di secondo grado con due soluzioni identiche, $t=2$
Per quanto riguarda la risoluzione del sistema, invece, prendi la matrice completa, sostituiscile il primo valore di t che hai trovato, quindi effettua la riduzione a scalini, determinando quindi la soluzione desiderata. Effettua il medesimo procedimento per l'altro valore di t e ricaverai la soluzione dell'altro sistema.
Fammi sapere se ti ritrovi con il calcolo del terminante, e se ti serve ti faccio vedere come ridurla a scalini per poi determinarne le soluzioni.
Comunque, per riassumere: prima determini il rango delle due matrici. Se sono identici il sistema è compatibile, quindi effettui la riduzione a scalini sulla matrice completa per determinare la soluzione / soluzione generale.
EDIT: Per la risoluzione di un sistema lineare completa con riduzione a scalini ti rimando a questo PDF, scritto da me (esercizio 4b): https://www.dropbox.com/s/p2vumtwpjgy4t ... o.pdf?dl=0
Per quanto riguarda il determinante uso sempre Laplace, te lo sviluppo per righe:
Considera la matrice completa $C=( ( 1 , -1 , t-2 ),( t , t-4 , 0 ),( 2 , 2-2t , 2t-4 ) )$
Procedi individuando una riga della matrice che abbia più zeri possibile, in questo caso direi la seconda, ed inizia a calcolare il determinante della matrice:
$ det(C)=-t(det( ( -1 , t-2 ),( 2-2t , 2t-4 ) ) )+(t-4)(det( ( 1 , t-2 ),( 2 , 2t-4 ) ) )-0(det( ( 1 , -1 ),( 2 , 2-2t ) ) ) $
Giusto per precisare, non si sa mai, $t$ e $0$ cambiano segno poiché la somma dei loro indici delle relative righe e colonne è dispari (es $t$ è situato alla seconda riga della matrice, colonna 1, quindi $2+1=3$). Nel caso di $t-4$, invece, il segno si mantiene poiché la somma dell'indice della sua relativa riga e colonna è pari (riga 2, colonna 2, $2+2=4$, pari).
Puoi immediatamente levare il terzo blocco perché è moltiplicato per zero, per il resto hai:
$ -t[-2t+4-(2-2t)(t-2)]+(t-4)(2t-4-2t+4) $
Il blocco che moltiplicata $(t-4)$ è nullo, svolgiamo quindi i calcoli del primo:
$ -t[-2t+4-(2t-4-2t^2+4t)] $
$ -t(2t^2-8t+8) $
Prima soluzione: $-t=0$, quindi $t=0$;
Seconda soluzione: $2t^2-8t+8=0$, è un'equazione di secondo grado con due soluzioni identiche, $t=2$
Per quanto riguarda la risoluzione del sistema, invece, prendi la matrice completa, sostituiscile il primo valore di t che hai trovato, quindi effettua la riduzione a scalini, determinando quindi la soluzione desiderata. Effettua il medesimo procedimento per l'altro valore di t e ricaverai la soluzione dell'altro sistema.
Fammi sapere se ti ritrovi con il calcolo del terminante, e se ti serve ti faccio vedere come ridurla a scalini per poi determinarne le soluzioni.
Comunque, per riassumere: prima determini il rango delle due matrici. Se sono identici il sistema è compatibile, quindi effettui la riduzione a scalini sulla matrice completa per determinare la soluzione / soluzione generale.
EDIT: Per la risoluzione di un sistema lineare completa con riduzione a scalini ti rimando a questo PDF, scritto da me (esercizio 4b): https://www.dropbox.com/s/p2vumtwpjgy4t ... o.pdf?dl=0
"final444h":
*** cut ***
ciao ancora e ancora grazie per l'aiuto!
Ho svolto da solo il determinante secondo la seconda riga e mi trovo con te, stessa cosa se faccio il determinante secondo la terza colonna (fatto tanto per esercitarmi..il guadagno dovrebbe essere lo stesso)
per quanto riguarda la riduzione... eh sì, effettivamente c'era un errore anche stupido. Non devo più studiare ad orari illegali
grazie mille final444h!
Figurati, se serve altro mi trovi!
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