Sistema a tre equazioni

[GabrielG1]

Ciao a tutti, spero sia la sezione giusta, sto cercando di risolvere questo sistema a tre incognite:

[tex]\left\{\begin{matrix}
x^{4} = y + z
\\
y^{4} = x + z
\\
z^{4} = x + y

\end{matrix}\right.[/tex]

Ho fatto un po' di prove cercando di semplificare ma non riesco a risolvere, qualcuno ha qualche suggerimento?
Grazie mille!

[losangeles-lakers]

La matrice completa costituita dai coefficienti delle incognite è uguale a $((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$ per il teorema di rouchè capelli il $rgA=rgC=1(n=numero di incognite) e quand'è verificata questa situazione il sistema presenta $infty$ soluzioni

[Sk_Anonymous]

Il sistema non è lineare e non credo si possa applicare Rouché-Capelli. Provo in altro modo.
Sottraendo dalla prima equazione la seconda, dalla seconda la terza e dalla terza la prima, abbiamo il nuovo sistema :
\(\begin{cases}x^4-y^4=y-x\\y^4-z^4=z-y\\z^4-x^4=x-z\end{cases}\)
Ovvero :
(A)\(\begin{cases}(x-y)[(x+y)(x^2+y^2)+1]=0\\(y-z)[(y+z)(y^2+z^2)+1]=0\\(z-x)[(z+x)(z^2+x^2)+1]=0\end{cases}\)
Osserviamo ora che per ipotesi è \(x+y=z^4\geq0\). Pertanto se fosse \(x+y=0\) sarebbe \((x+y)(x^2+y^2)+1=1>0\) e se fosse \(x+y>0\) sarebbe comunque \( (x+y)(x^2+y^2)+1>0\). Analogo discorso per \([(y+z)(y^2+z^2)+1]\) e \([(z+x)(z^2+x^2)+1]\)
Da (A) segue allora che è necessariamente :
\(\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}\)
Ovvero : \(x=y=z\)
Sostituendo in una delle equazioni del sitema originario si ha la relazione:
\(x^4-2x=0\)
che ha le soluzioni : \(x=0,x=\sqrt[3]2\) (mi limito alle sole soluzioni reali)
In conclusione le soluzioni (reali) del sistema dato sono :
\((0,0,0),(\sqrt[3]2,\sqrt[3]2,\sqrt[3]2)\)