Sistema 3eq 3incognite, 2 parametri

[sultanofswing]

Salve a tutti, volevo proporre questo sistema lineare:

[tex]\left\{\begin{matrix}
kx + y -z = h \\
x + y + z = 0\\
y - z = 1
\end{matrix}\right.[/tex]

cosi ad occhio si vede che per $ k=0,h=1 $ il sistema è compatibile. Ottengo dunque il sistema

[tex]\left\{\begin{matrix}
y - z = 1 \\
x + y + z = 0
\end{matrix}\right.[/tex]

e per sostituzione ottengo

[tex]\left\{\begin{matrix}
y = 1 + z\\
x = -1 -z
\end{matrix}\right.[/tex]

e dunque $ (-1-z,1+z,1) $ dovrebbero essere le soluzioni. E' giusto il procedimento o manca qualcosa?

[cirasa]

"sultanofswing":Ottengo dunque il sistema

(1) [tex]\left\{\begin{matrix}
y - z = 1 \\
x + y + z = 0
\end{matrix}\right.[/tex]

e per sostituzione ottengo

[tex]\left\{\begin{matrix}
y = 1 + z\\
x = -1 -z
\end{matrix}\right.[/tex]

e dunque $ (-1-z,1+z,1) $ dovrebbero essere le soluzioni. E' giusto il procedimento o manca qualcosa?

A parte che risolvendo (1), si ottiene
[tex]\left\{\begin{matrix}
y = 1 + z\\
x = -1 -2z
\end{matrix}\right.[/tex]
e quindi le soluzioni del sistema per $k=0$ e $h=1$ sono nella forma $(-2z-1,z+1,z)$, per risolvere il sistema iniziale devi completare gli altri casi.
Devi risolvere il sistema (se compatibile) nei casi in cui $k!=0$ o $h!=1$.

[sultanofswing]

scusami è stato un errore di trascrittura .Per quanto riguarda il sistema provvedo subito!

[sultanofswing]

Allora, la matrice completa è data da

[tex]\begin{pmatrix}
k & 1 & -1 &| h\\
1 & 1 & 1 &| 0\\
0 & 1 & -1 &| 1
\end{pmatrix}[/tex]

e il minore del 3° ordine costituito dalla matrice incompleta ha rango 3 per $ k != 0 $. Allora considero un altro minore di ordine 3:

[tex]\begin{pmatrix}
k & 1 & h \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex]



da cui ricavo che $ h != 1-k $ per far in modo che la matrice abbia rango 3. Dunque ho cercato le soluzioni in questo modo:

[tex]x=\frac{\begin{vmatrix}
h & 1 & -1\\
0 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1
\end{vmatrix}}{k}[/tex]

[tex]y=\frac{\begin{vmatrix}
k & h & -1\\
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & -1
\end{vmatrix}}{k}[/tex]

[tex]z=\frac{\begin{vmatrix}
k & 1 & h\\
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}}{k}[/tex]

con le condizioni imposte($k!=0,h!=1-k$).Giusto?

[cirasa]

Ciò che hai fatto è giusto.
Ora hai studiato i casi
a) [tex]k=0\ \textrm{e}\ h=1[/tex];
b) [tex]k\neq0\ \textrm{e}\ h\neq 1-k[/tex].
Mancano i casi:
c) [tex]k=0\ \textrm{e}\ h\neq1[/tex];
d) [tex]k\neq 0\ \textrm{e}\ h=1-k[/tex].

[cirasa]

E comunque tieni conto che non solo nel caso $k!=0$ e $h!=1-k$ la matrice completa ha rango 3...

[sultanofswing]

"cirasa":c) [tex]k=0\ \textrm{e}\ h\neq1[/tex];

[tex]\left\{\begin{matrix}
y - z = h& & \\
x + y + z = 0& & \\
y - z = 1 & &
\end{matrix}\right.[/tex]

con $h!=1$ risulterebbe impossibile! Per l'ultimo caso sembra che il sistema sia compatibile e la matrice abbia rango 3.

[sultanofswing]

C'è qualcosa che non mi torna.Ho cercato il determinante dei minori del 3° ordine ed è venuto fuori che

[tex]\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1-k \\
1 & 1 & 0\\
1 & -1 & 1
\end{vmatrix}\neq 0[/tex],[tex]\begin{vmatrix}
k & 1 & 1-k \\
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}= 0[/tex],[tex]\begin{vmatrix}
k & -1 & 1-k \\
1 & 1 & 0\\
0 & -1 & 1
\end{vmatrix}\neq 0[/tex]

e quindi c'è un minore con il determinante = 0 Il rango dunque non è 3?

[cirasa]

"sultanofswing":[quote="cirasa"]c) [tex]k=0\ \textrm{e}\ h\neq1[/tex];

....
con $h!=1$ risulterebbe impossibile!
[/quote]
Ok. Ma questo dipende anche dal teorema di Rouchè-Capelli, in quanto la matrice incompleta ha rango $2$, mentre quella completa ha rango $3$ (verificalo! Ma prima leggi il suggerimento che ti ho scritto dopo).

"sultanofswing":C'è qualcosa che non mi torna.Ho cercato il determinante dei minori del 3° ordine ed è venuto fuori che

[tex]\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1-k \\
1 & 1 & 0\\
1 & -1 & 1
\end{vmatrix}\neq 0[/tex],[tex]\begin{vmatrix}
k & 1 & 1-k \\
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}= 0[/tex],[tex]\begin{vmatrix}
k & -1 & 1-k \\
1 & 1 & 0\\
0 & -1 & 1
\end{vmatrix}\neq 0[/tex]

e quindi c'è un minore con il determinante = 0 Il rango dunque non è 3?

Mi permetto di consigliarti di rivedere il metodo dei minori orlati per il calcolo del rango.
NON è vero che siccome c'è un minore (di ordine $3$) nullo, allora il rango è minore di $3$.
E' vero piuttosto che siccome c'è un minore di ordine $3$ non nullo, allora il rango è almeno $3$.

[sultanofswing]

Ok. Tutto chiaro grazie mille!