Sistema
Ciao,
non ho capito come risolvere questo sistema ${((2 - t)x + z = 1), (2x - ty 4z = s), (-x -tz = -1):} s, t in RR$
devo determinare i valori dei parametri perchè il sistema abbia un unica soluzione e la soluzione generale
ho ridotto la matrice $((2, -t, 4, s), (2 - t, 0, 1, 1), (-t^2 + 2t - 1, 0, -0, -1 + t))$ fino a qui se è giusto so che se $t != 1$ il sistema è compatibile ed ha una sola soluzione
quindi avrei risposto alla prima domanda però s non serve a niente ?
Per scrivere la soluzione generale devo trovare i valori di s e t oppure scrivere x, y e z in funzione dei due parametri ?
Io ho provato a scriverli in funzione dei due parametri ma ad un certo punto devo imporre che $t != 0$, ha senso ?
non ho capito come risolvere questo sistema ${((2 - t)x + z = 1), (2x - ty 4z = s), (-x -tz = -1):} s, t in RR$
devo determinare i valori dei parametri perchè il sistema abbia un unica soluzione e la soluzione generale
ho ridotto la matrice $((2, -t, 4, s), (2 - t, 0, 1, 1), (-t^2 + 2t - 1, 0, -0, -1 + t))$ fino a qui se è giusto so che se $t != 1$ il sistema è compatibile ed ha una sola soluzione
quindi avrei risposto alla prima domanda però s non serve a niente ?
Per scrivere la soluzione generale devo trovare i valori di s e t oppure scrivere x, y e z in funzione dei due parametri ?
Io ho provato a scriverli in funzione dei due parametri ma ad un certo punto devo imporre che $t != 0$, ha senso ?
Risposte
Accettando i cambiamenti apportati al sistema (forse per
far comparire piu' "zeri") le matrici incompleta e completa sono:
$A=((2,-t,4),(2-t,0,1),(-(t-1)^2,0,0))$
$B=((2,-t,4,s),(2-t,0,1,1),(-(t-1)^2,0,0,t-1))$
Effettuando i calcoli si trova che:
$detA=t(t-1)^2$
Pertanto se $t in R-{0,1}$ risulta $detA!=0$ ed il sistema
e' compatibile.Non resta che risolvere il sistema rispetto alle
incognite x,y,z in funzione dei parametri t ed s.
Una pura questione di conti.
Esaminiamo ora i casi particolari t=0 ,t=1.
1)Caso t=0.
Si ha:
$A=((2,0,4),(2,0,1),(-1,0,0))$
$B=((2,0,4,s),(2,0,1,1),(-1,0,0,-1))$
Ovviamente e' detA=0 mentre B contiene il minore:
$C=((2,4,s),(2,1,1),(-1,0,-1))$ il cui det e' detC=s+2
Ne segue che:
Se $s!=-2$ A e B hanno rango diverso ed il sistema e' incompatibile.
Nessuna soluzione.
Se invece s=-2 il sistema e' compatibile e per t=0,s=-2 si riduce a:
${(2x+4z=-2),(2x+z=1),(x=1):}$ da cui le soluzioni
[x=1,y=reale qualunque,z=-1].Vi sono $oo^1$ soluzioni.
2)Caso t=1.
Abbiamo:
$A=((2,-1,4),(1,0,1),(0,0,0))$
$B=((2,-1,4,s),(1,0,1,1),(0,0,0,0))$
In questo caso ,data la presenza degli zeri nell'ultima riga,A e B
hanno entrambe rango 2 e quindi il sistema e' compatibile.
Esso per t=1 diventa:
${(2x-y+4z=s),(x+z=1):}$
Da cui le soluzioni :
[x=reale qualunque,y=-2x+(4-s),z=1-x]
Vi sono $oo^2$ soluzioni al variare dei parametri x ed s.
karl
far comparire piu' "zeri") le matrici incompleta e completa sono:
$A=((2,-t,4),(2-t,0,1),(-(t-1)^2,0,0))$
$B=((2,-t,4,s),(2-t,0,1,1),(-(t-1)^2,0,0,t-1))$
Effettuando i calcoli si trova che:
$detA=t(t-1)^2$
Pertanto se $t in R-{0,1}$ risulta $detA!=0$ ed il sistema
e' compatibile.Non resta che risolvere il sistema rispetto alle
incognite x,y,z in funzione dei parametri t ed s.
Una pura questione di conti.
Esaminiamo ora i casi particolari t=0 ,t=1.
1)Caso t=0.
Si ha:
$A=((2,0,4),(2,0,1),(-1,0,0))$
$B=((2,0,4,s),(2,0,1,1),(-1,0,0,-1))$
Ovviamente e' detA=0 mentre B contiene il minore:
$C=((2,4,s),(2,1,1),(-1,0,-1))$ il cui det e' detC=s+2
Ne segue che:
Se $s!=-2$ A e B hanno rango diverso ed il sistema e' incompatibile.
Nessuna soluzione.
Se invece s=-2 il sistema e' compatibile e per t=0,s=-2 si riduce a:
${(2x+4z=-2),(2x+z=1),(x=1):}$ da cui le soluzioni
[x=1,y=reale qualunque,z=-1].Vi sono $oo^1$ soluzioni.
2)Caso t=1.
Abbiamo:
$A=((2,-1,4),(1,0,1),(0,0,0))$
$B=((2,-1,4,s),(1,0,1,1),(0,0,0,0))$
In questo caso ,data la presenza degli zeri nell'ultima riga,A e B
hanno entrambe rango 2 e quindi il sistema e' compatibile.
Esso per t=1 diventa:
${(2x-y+4z=s),(x+z=1):}$
Da cui le soluzioni :
[x=reale qualunque,y=-2x+(4-s),z=1-x]
Vi sono $oo^2$ soluzioni al variare dei parametri x ed s.
karl
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