Sistema
Salve a tutti!! Qualcuno mi aiuta a risolvere questo sistema ? Grazie mille
Risposte
mi sembra un sistema che è venuto fuori da una funzione in 3 variabili $f(x,y,z)$ e bisogna trovare i max/min sul vincolo $x^2+y^2+z^2=1$
giusto?..
Bé per questo tipo di sistema..bisogna smanettare.. qualche idea tua?
giusto?..
Bé per questo tipo di sistema..bisogna smanettare.. qualche idea tua?
Un consiglio per valesyle92: partendo dalla terza equazione si applica la legge di annullamento del prodotto e si ottengono due casi. Questi sono l'inizio di due strade da seguire...
grazie per il suggerimento ...ho provato ma poi mi incasino...qualche altro suggerimento altrimenti metto qui quello che sono riuscita a fare...grazie mille.
comunque si ...deriva da quel problema di massimizzazione
Dunque... provo a svolgerne almeno una parte. Avevamo detto di partire dalla terza e dividere in due casi: \(z=0\) oppure \(e^{xy}=\lambda\). Iniziamo considerando il caso \(z=0\): il sistema diventa
\[
\begin{cases}
\lambda x = 0 \\
\lambda y = 0 \\
x^2+y^2=1
\end{cases}
\]
Ora qui si aprono nuove strade: se \(\lambda = 0\) allora la prima e la seconda sono soddisfatte per qualsiasi coppia di valori \(x,y\), che sono quindi "liberi" sulla circonferenza di raggio unitario, come specificato dalla terza equazione. Se invece partiamo dalla prima e diciamo \(x=0\) allora la seconda deve per forza dare \(\lambda = 0\). Infatti se nella seconda fosse \(y=0\) allora la terza porterebbe a \(0+0=1\) che è ovviamente falso. Quindi abbiamo \(x=0,\ \lambda = 0\) e dalla terza ricaviamo \(y=\pm 1\). Per simmetria facciamo la stessa cosa partendo con \(y=0\) nella seconda, da cui ricaviamo \(\lambda = 0\) nella prima e infine \(x=\pm 1\) dalla terza. Quindi abbiamo già trovato alcune soluzioni, che riporto:
\[
\begin{bmatrix}
x\\y\\z\\ \lambda
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
k \\ \pm\sqrt{1-k^2} \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix} \text{oppure} \begin{bmatrix}
0 \\ \pm 1 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix} \text{oppure} \begin{bmatrix}
\pm 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}
\]
Da notare come la seconda e la terza soluzione siano in realtà casi particolari della prima. Se non ho fatto errori questo conclude lo studio per \(z=0\).
Passiamo ora a \(e^{xy} = \lambda\). Da notare che \(e^{xy} > 0\), quindi anche \(\lambda > 0\) e questo ci permette di semplificare un po' il sistema, che diventa
\[
\begin{cases}
yz^2 = 2x \\
xz^2 = 2y \\
x^2+y^2+z^2=1
\end{cases}
\]
Ora, ad esempio, ricaviamo \(y\) dalla prima e abbiamo
\[
y = \frac{2x}{z^2}
\]
Se lo sostituiamo nella seconda si ottiene
\[
xz^2 = \frac{4x}{z^2} \quad\Rightarrow\quad x\left(z^2-\frac{4}{z^2}\right)=0
\]
Questo ci porta ad altre due strade: se \(x=0\) allora dalla prima abbiamo \(y=0\) e dalla terza \(z=\pm 1\). Inoltre \(\lambda = e^{xy} = e^0 = 1\). E questa è un'altra soluzione.
Invece l'altra strada possibile è
\[
z^2-\frac{4}{z^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad z^4-4=0 \quad\Rightarrow\quad z = \pm\sqrt{2}
\]
dove ho considerato \(z \neq 0\) e mi sono limitato ai soli numeri reali. Ora possiamo notare che, se sostituiamo questi valori nella terza equazione, otteniamo
\[
x^2+y^2=-1
\]
che non ha soluzione nell'insieme dei numeri reali. Quindi questa strada è da abbandonare.
E da qui si continua...
Per facilitarti, ti posto la soluzione proposta da un software di calcolo:
\[
\begin{cases}
\lambda x = 0 \\
\lambda y = 0 \\
x^2+y^2=1
\end{cases}
\]
Ora qui si aprono nuove strade: se \(\lambda = 0\) allora la prima e la seconda sono soddisfatte per qualsiasi coppia di valori \(x,y\), che sono quindi "liberi" sulla circonferenza di raggio unitario, come specificato dalla terza equazione. Se invece partiamo dalla prima e diciamo \(x=0\) allora la seconda deve per forza dare \(\lambda = 0\). Infatti se nella seconda fosse \(y=0\) allora la terza porterebbe a \(0+0=1\) che è ovviamente falso. Quindi abbiamo \(x=0,\ \lambda = 0\) e dalla terza ricaviamo \(y=\pm 1\). Per simmetria facciamo la stessa cosa partendo con \(y=0\) nella seconda, da cui ricaviamo \(\lambda = 0\) nella prima e infine \(x=\pm 1\) dalla terza. Quindi abbiamo già trovato alcune soluzioni, che riporto:
\[
\begin{bmatrix}
x\\y\\z\\ \lambda
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
k \\ \pm\sqrt{1-k^2} \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix} \text{oppure} \begin{bmatrix}
0 \\ \pm 1 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix} \text{oppure} \begin{bmatrix}
\pm 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}
\]
Da notare come la seconda e la terza soluzione siano in realtà casi particolari della prima. Se non ho fatto errori questo conclude lo studio per \(z=0\).
Passiamo ora a \(e^{xy} = \lambda\). Da notare che \(e^{xy} > 0\), quindi anche \(\lambda > 0\) e questo ci permette di semplificare un po' il sistema, che diventa
\[
\begin{cases}
yz^2 = 2x \\
xz^2 = 2y \\
x^2+y^2+z^2=1
\end{cases}
\]
Ora, ad esempio, ricaviamo \(y\) dalla prima e abbiamo
\[
y = \frac{2x}{z^2}
\]
Se lo sostituiamo nella seconda si ottiene
\[
xz^2 = \frac{4x}{z^2} \quad\Rightarrow\quad x\left(z^2-\frac{4}{z^2}\right)=0
\]
Questo ci porta ad altre due strade: se \(x=0\) allora dalla prima abbiamo \(y=0\) e dalla terza \(z=\pm 1\). Inoltre \(\lambda = e^{xy} = e^0 = 1\). E questa è un'altra soluzione.
Invece l'altra strada possibile è
\[
z^2-\frac{4}{z^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad z^4-4=0 \quad\Rightarrow\quad z = \pm\sqrt{2}
\]
dove ho considerato \(z \neq 0\) e mi sono limitato ai soli numeri reali. Ora possiamo notare che, se sostituiamo questi valori nella terza equazione, otteniamo
\[
x^2+y^2=-1
\]
che non ha soluzione nell'insieme dei numeri reali. Quindi questa strada è da abbandonare.
E da qui si continua...
Per facilitarti, ti posto la soluzione proposta da un software di calcolo:
grazie mille !! Troppo gentile!!! Adesso provo a guardare se ho problemi riscrivo!!
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