Simmetrico di una retta passante per un punto rispetto ad un piano
Ragazzi dovrei trovare le equazioni cartesiane di una retta t simmetrica della retta r quest ultima passante per $ P-= (-1,2,1) $ e avente direzione $ W=(-2,1,3) $ , rispetto al piano $ pi:-3x+2y+z=2 $ . Avevo pensato di trovare il simmetrico di P e poi far passare la retta per questo punto, ma non conosco la direzione della retta! Quindi come faccio?
Grazie a tutti per i suggerimenti!
Grazie a tutti per i suggerimenti!
Risposte
Non è la prima volta che rispondo ultimamente a una domanda di questo tipo. I libri non devono essere molto chiari 
.
Supponi per un momento che il piano passi per l'origine (cosa che non accade in genere), allora avrà la forma \(\displaystyle ax + by +cz = 0 \) cioè \(\displaystyle \langle \mathbf{w}, P \rangle = 0 \) (scritto alle volte \(\displaystyle \mathbf{v}\cdot P = 0 \) a seconda della notazione del prodotto scalare) dove \(\displaystyle \mathbf{v} = (a,b,c) \) e \(\displaystyle P = (x,y,z) \).
Se \(\displaystyle \mathbf{b}_1 \) e \(\displaystyle \mathbf{b}_2 \) formano una base ortonormale di \(\displaystyle \langle \mathbf{v}, P \rangle = 0 \) (cioè del piano visto come sottospazio vettoriale[nota]Cosa valida perché per ora suppongo che si abbia il passaggio per \(\displaystyle \mathbf{0} \).[/nota]) allora \(\displaystyle \{ \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{v} \} \) è una base ortogonale di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \). Usando \(\displaystyle \hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert} \) ho una base ortonormale. Fin qui spero sia tutto chiaro.
Se \(\displaystyle P_0 = (x_0, y_0, z_0) \) è un punto qualsiasi di un piano generico \(\displaystyle ax + by +cz = d \) allora si ha che \(\displaystyle ax_0 + by_0 +cz_0 = d \) e \(\displaystyle a(x - x_0) + b(y - y_0) +c(z- z_0) = d-d = 0 \). Pertanto le considerazioni fatte prima valgono anche nel caso generico supposto che si sostituisca \(\displaystyle P \) con \(\displaystyle P-P_0 \) per un qualche punto base del piano.
A questo punto ci sono due casi: la retta \(\displaystyle P + t\mathbf{w} \) è perpendicolare al piano e quindi si ha che \(\displaystyle \langle\hat{\mathbf{v}},\mathbf{w}\rangle = 0 \) oppure \(\displaystyle \langle\hat{\mathbf{v}},\mathbf{w}\rangle \neq 0 \) e retta e piano si incontrano in un punto.
Nel primo caso il simmetrico della retta è semplicemente la retta \(\displaystyle P' + t\mathbf{w} \) dove \(\displaystyle P' = P \pm 2d(P,\pi)\hat{\mathbf{v}} \) dove \(\displaystyle d(P,\pi) \) è la distanza tra retta e piano (anch'essa calcolabile tramite prodotto scalare) e il segno è definito in base a quale tra \(\displaystyle P + d(P,\pi)\hat{\mathbf{v}} \) e \(\displaystyle P - d(P,\pi)\hat{\mathbf{v}} \) è contenuto nel piano. Ma in realtà se usi il prodotto scalare per calcolare la distanza puoi estrapolare il segno usando quello.
Nel secondo caso, puoi supporre che \(\displaystyle P \) sia il punto di intersezione tra retta e piano (eventualmentemente sostituendolo) e che quindi retta e piano siano sottospazi vettoriali nello spazio affine di origine \(\displaystyle P \). Questo significa che io debba riflettere solamente la direzione. Siccome si ha che \(\displaystyle \mathbf{w} = \langle\mathbf{b}_1, \mathbf{w}\rangle\mathbf{b}_1 + \langle\mathbf{b}_2, \mathbf{w}\rangle\mathbf{b}_2 + \langle\hat{\mathbf{v}}, \mathbf{w}\rangle\hat{\mathbf{v}} \) allora la direzione simmetrica rispetto al piano è \(\displaystyle \mathbf{w}' = \langle\mathbf{b}_1, \mathbf{w}\rangle\mathbf{b}_1 + \langle\mathbf{b}_2, \mathbf{w}\rangle\mathbf{b}_2 - \langle\hat{\mathbf{v}}, \mathbf{w}\rangle\hat{\mathbf{v}} = \mathbf{w} - 2\langle\hat{\mathbf{v}}, \mathbf{w}\rangle\hat{\mathbf{v}} = \mathbf{w} - 2\frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle}{\lVert \mathbf{v} \rVert^2} \mathbf{v} \).
In realtà però si può lavorare cecamente, raggruppando i due casi. Infatti nel primo caso si ha che \(\displaystyle \mathbf{w} - 2\langle\hat{\mathbf{v}}, \mathbf{w}\rangle\hat{\mathbf{v}} = \mathbf{w} \).
Sia quindi \(\displaystyle Q + t\mathbf{w} \) una retta qualsiasi e \(\displaystyle \langle \mathbf{v}, P - P_0 \rangle = 0 \) un piano passante per \(\displaystyle P_0 \), tale che \(\displaystyle \lVert\mathbf{v}\rVert = 1 \). Vogliamo quindi associargli la retta \(\displaystyle Q' + t\mathbf{w}' \) simmetrica alla retta data rispetto al piano dato. Abbiamo visto che il simmetrico di \(\displaystyle Q \) rispetto al piano è \(\displaystyle Q' = Q \pm 2d(Q,\pi)\hat{\mathbf{v}} = Q - 2\langle\mathbf{v}, Q - P_0\rangle\mathbf{v} \). Inoltre abbiamo visto che si ha \(\displaystyle \mathbf{w}' =\mathbf{w} - 2\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle \mathbf{v} \). In sostanza la soluzione generica è \(\displaystyle Q - 2\langle\mathbf{v}, Q - P_0\rangle\mathbf{v} + t\mathbf{w} - 2t \langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle \mathbf{v} \).
Nel caso in cui \(\displaystyle \lVert\mathbf{v}\rVert \neq 1 \) allora si ha la soluzione \(\displaystyle Q - 2\frac{\langle\mathbf{v}, Q - P_0\rangle}{\lVert\mathbf{v}\rVert^2}\mathbf{v} + t\mathbf{w} - 2t \frac{\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle}{\lVert\mathbf{v}\rVert^2} \mathbf{v} \). Sta a te decidere se preferisci dividere prima o dopo.
.Supponi per un momento che il piano passi per l'origine (cosa che non accade in genere), allora avrà la forma \(\displaystyle ax + by +cz = 0 \) cioè \(\displaystyle \langle \mathbf{w}, P \rangle = 0 \) (scritto alle volte \(\displaystyle \mathbf{v}\cdot P = 0 \) a seconda della notazione del prodotto scalare) dove \(\displaystyle \mathbf{v} = (a,b,c) \) e \(\displaystyle P = (x,y,z) \).
Se \(\displaystyle \mathbf{b}_1 \) e \(\displaystyle \mathbf{b}_2 \) formano una base ortonormale di \(\displaystyle \langle \mathbf{v}, P \rangle = 0 \) (cioè del piano visto come sottospazio vettoriale[nota]Cosa valida perché per ora suppongo che si abbia il passaggio per \(\displaystyle \mathbf{0} \).[/nota]) allora \(\displaystyle \{ \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{v} \} \) è una base ortogonale di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \). Usando \(\displaystyle \hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert} \) ho una base ortonormale. Fin qui spero sia tutto chiaro.
Se \(\displaystyle P_0 = (x_0, y_0, z_0) \) è un punto qualsiasi di un piano generico \(\displaystyle ax + by +cz = d \) allora si ha che \(\displaystyle ax_0 + by_0 +cz_0 = d \) e \(\displaystyle a(x - x_0) + b(y - y_0) +c(z- z_0) = d-d = 0 \). Pertanto le considerazioni fatte prima valgono anche nel caso generico supposto che si sostituisca \(\displaystyle P \) con \(\displaystyle P-P_0 \) per un qualche punto base del piano.
A questo punto ci sono due casi: la retta \(\displaystyle P + t\mathbf{w} \) è perpendicolare al piano e quindi si ha che \(\displaystyle \langle\hat{\mathbf{v}},\mathbf{w}\rangle = 0 \) oppure \(\displaystyle \langle\hat{\mathbf{v}},\mathbf{w}\rangle \neq 0 \) e retta e piano si incontrano in un punto.
Nel primo caso il simmetrico della retta è semplicemente la retta \(\displaystyle P' + t\mathbf{w} \) dove \(\displaystyle P' = P \pm 2d(P,\pi)\hat{\mathbf{v}} \) dove \(\displaystyle d(P,\pi) \) è la distanza tra retta e piano (anch'essa calcolabile tramite prodotto scalare) e il segno è definito in base a quale tra \(\displaystyle P + d(P,\pi)\hat{\mathbf{v}} \) e \(\displaystyle P - d(P,\pi)\hat{\mathbf{v}} \) è contenuto nel piano. Ma in realtà se usi il prodotto scalare per calcolare la distanza puoi estrapolare il segno usando quello.
Nel secondo caso, puoi supporre che \(\displaystyle P \) sia il punto di intersezione tra retta e piano (eventualmentemente sostituendolo) e che quindi retta e piano siano sottospazi vettoriali nello spazio affine di origine \(\displaystyle P \). Questo significa che io debba riflettere solamente la direzione. Siccome si ha che \(\displaystyle \mathbf{w} = \langle\mathbf{b}_1, \mathbf{w}\rangle\mathbf{b}_1 + \langle\mathbf{b}_2, \mathbf{w}\rangle\mathbf{b}_2 + \langle\hat{\mathbf{v}}, \mathbf{w}\rangle\hat{\mathbf{v}} \) allora la direzione simmetrica rispetto al piano è \(\displaystyle \mathbf{w}' = \langle\mathbf{b}_1, \mathbf{w}\rangle\mathbf{b}_1 + \langle\mathbf{b}_2, \mathbf{w}\rangle\mathbf{b}_2 - \langle\hat{\mathbf{v}}, \mathbf{w}\rangle\hat{\mathbf{v}} = \mathbf{w} - 2\langle\hat{\mathbf{v}}, \mathbf{w}\rangle\hat{\mathbf{v}} = \mathbf{w} - 2\frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle}{\lVert \mathbf{v} \rVert^2} \mathbf{v} \).
In realtà però si può lavorare cecamente, raggruppando i due casi. Infatti nel primo caso si ha che \(\displaystyle \mathbf{w} - 2\langle\hat{\mathbf{v}}, \mathbf{w}\rangle\hat{\mathbf{v}} = \mathbf{w} \).
Sia quindi \(\displaystyle Q + t\mathbf{w} \) una retta qualsiasi e \(\displaystyle \langle \mathbf{v}, P - P_0 \rangle = 0 \) un piano passante per \(\displaystyle P_0 \), tale che \(\displaystyle \lVert\mathbf{v}\rVert = 1 \). Vogliamo quindi associargli la retta \(\displaystyle Q' + t\mathbf{w}' \) simmetrica alla retta data rispetto al piano dato. Abbiamo visto che il simmetrico di \(\displaystyle Q \) rispetto al piano è \(\displaystyle Q' = Q \pm 2d(Q,\pi)\hat{\mathbf{v}} = Q - 2\langle\mathbf{v}, Q - P_0\rangle\mathbf{v} \). Inoltre abbiamo visto che si ha \(\displaystyle \mathbf{w}' =\mathbf{w} - 2\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle \mathbf{v} \). In sostanza la soluzione generica è \(\displaystyle Q - 2\langle\mathbf{v}, Q - P_0\rangle\mathbf{v} + t\mathbf{w} - 2t \langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle \mathbf{v} \).
Nel caso in cui \(\displaystyle \lVert\mathbf{v}\rVert \neq 1 \) allora si ha la soluzione \(\displaystyle Q - 2\frac{\langle\mathbf{v}, Q - P_0\rangle}{\lVert\mathbf{v}\rVert^2}\mathbf{v} + t\mathbf{w} - 2t \frac{\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle}{\lVert\mathbf{v}\rVert^2} \mathbf{v} \). Sta a te decidere se preferisci dividere prima o dopo.
se fai sistema dell'equazione del piano con l'equazione della retta r, constati che la retta interseca il piano nel
punto Q(1\11,16\11,-7\11).
Calcolato allora il simmetrico di P (come già volevi fare).la retta passante per i punti P e Q è quella cercata.
punto Q(1\11,16\11,-7\11).
Calcolato allora il simmetrico di P (come già volevi fare).la retta passante per i punti P e Q è quella cercata.
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