Simmetrico di un vettore rispetto a un piano (risolto)
Salve a tutti, ho dei problemi con questo esercizio:
Siano ${i, j, k}$ una base ortonormale di $V_0$ positivamente orientata.
$u = 3i + 2j$
$v = 3i + 3j - k$
$w = -i + j +2k$
e sia $t = ai + bj + ck$ il vettore simmetrico di $w$ rispetto al piano generato da $u$ e $v$.
Ora, il piano generato da $u$ e $v$ non è altro che il determinante:
$|((x, 3, 3), (y, 2, 3), (z, 0, -1))|$ ossia: $-2x + 3y + 3z = 0$
Il problema ora è proseguire con l'esercizio. Come trovo il simmetrico di $w$ rispetto a $-2x + 3y + 3z = 0$ ?
Mi basta anche la ratio per arrivare alla soluzione.
Grazie a tutti
Siano ${i, j, k}$ una base ortonormale di $V_0$ positivamente orientata.
$u = 3i + 2j$
$v = 3i + 3j - k$
$w = -i + j +2k$
e sia $t = ai + bj + ck$ il vettore simmetrico di $w$ rispetto al piano generato da $u$ e $v$.
Ora, il piano generato da $u$ e $v$ non è altro che il determinante:
$|((x, 3, 3), (y, 2, 3), (z, 0, -1))|$ ossia: $-2x + 3y + 3z = 0$
Il problema ora è proseguire con l'esercizio. Come trovo il simmetrico di $w$ rispetto a $-2x + 3y + 3z = 0$ ?
Mi basta anche la ratio per arrivare alla soluzione.
Grazie a tutti
Risposte
Farei così: mando dal punto P (-1,1,2) la perpendicolare al piano e ne trovo l'intersezione H. Tale H è il punto medio di PP' (P' simmetrico di P), per cui $a=x_(P')=2x_H-x_P$, ...
Ok temo di doverti chiedere ulteriori spiegazioni 
grazie ancora!
grazie ancora!
up
Spero di esaudire le tue richieste. Premetto che ho impostato il problema come se fossi in $RR^3$. Il simmetrico di un punto P rispetto a un piano è il simmetrico di P rispetto alla sua proiezione ortogonale (H). H è l'intersezione tra il piano e la retta per P ortogonale al piano stesso ed è il punto medio di PP'.
La retta, passantre per P (-1, 1, 2) e ortogonale al piano, ha lo stesso vettore direzionale del piano, cioè (-2,3, 3), allora $r = {(x=-1-2s),(y=1+3s),(z=2+3s):}$. Facendo l'intersezione col piano trovo $s=-1/2$, per cui $H=(0, -1/2,1/2)$, Se P' è il simmetrico di P, la distanza PP' è il doppio di PH, per cui puoi trovare P' usando nell'equazioni di r il parametro $2s$; oppure ricavando le coordinate di P' come ho indicato nella rsposta precedente.
La retta, passantre per P (-1, 1, 2) e ortogonale al piano, ha lo stesso vettore direzionale del piano, cioè (-2,3, 3), allora $r = {(x=-1-2s),(y=1+3s),(z=2+3s):}$. Facendo l'intersezione col piano trovo $s=-1/2$, per cui $H=(0, -1/2,1/2)$, Se P' è il simmetrico di P, la distanza PP' è il doppio di PH, per cui puoi trovare P' usando nell'equazioni di r il parametro $2s$; oppure ricavando le coordinate di P' come ho indicato nella rsposta precedente.
I calcoli sono corretti, ma quindi il punto H mi individua il vettore $t$ richiestomi nell'esercizio?
Perché ho provato a controllare tra le soluzioni, ma i valori non mi tornano. Dovrebbe essere che se:
$H= (0, -1/2, 1/2)$ -----> $t= ai + bj + ck$ allora avrei $a=0, b=-1/2, c=1/2$.
La soluzione però impone che $a+b-c=0$....
EDIT: ho provato tuttavia a fare il simmetrico del vettore trovato, e con quei valori la soluzione torna. Non solo di questo caso, ma anche negli esercizi simili.
Devo quindi fare il simmetrico del punto H trovato per trovare le coordinate a, b, c del vettore t. Il ragionamento è giusto?
Perché ho provato a controllare tra le soluzioni, ma i valori non mi tornano. Dovrebbe essere che se:
$H= (0, -1/2, 1/2)$ -----> $t= ai + bj + ck$ allora avrei $a=0, b=-1/2, c=1/2$.
La soluzione però impone che $a+b-c=0$....
EDIT: ho provato tuttavia a fare il simmetrico del vettore trovato, e con quei valori la soluzione torna. Non solo di questo caso, ma anche negli esercizi simili.
Devo quindi fare il simmetrico del punto H trovato per trovare le coordinate a, b, c del vettore t. Il ragionamento è giusto?
Il vettore $t$ è il simmetrico di $w$ rispetto ad H. Come ho detto, $t$ si può determinare usando $s=2*(-1/2)=-1$ nell'equazione parametrica della retta r, da cui si ottiene (1, -2, -1). componenti di $t$.
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