Simmetria tra rette rispetto un punto!
Salve ragazzi,
avrei un problema di geometria che non riesco a risolvere:
Sia fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano $O, x, y, z$.
Detta $r{(y=0),(z=0):}$ una retta (praticamente l'asse $x$), determinare la retta $r'$ simmetrica ad $r$ rispetto al punto $P(1,2,2)$.
Grazie in anticipo e spero che possiate aiutarmi!
avrei un problema di geometria che non riesco a risolvere:
Sia fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano $O, x, y, z$.
Detta $r{(y=0),(z=0):}$ una retta (praticamente l'asse $x$), determinare la retta $r'$ simmetrica ad $r$ rispetto al punto $P(1,2,2)$.
Grazie in anticipo e spero che possiate aiutarmi!
Risposte
Un metodo dovrebbe essere questo, spero non ci siano errori.
Se pensi di spostare il riferimento $\Sigma=(O,E)$ dove $O$ è l'origine degli assi ed $E$ è la base canonica nel riferimento $\Sigma'=(P,E)$ ottieni che il punto $O\in r$ nel nuovo sistema di riferimento ha coordinate $O=(-1,-2,-2)_{\Sigma'}$, quindi abbiamo $O-P=(-1,-2,-2)_{\Sigma'}$. Ora, dalle equazioni della retta si può intuire che la sua direzione è data dal vettore $v_r=(1,0,0)$. Se noi applichiamo un'omotetia $\omega_{P,-1}$ di centro $P$ (che in questo caso è il centro del riferimento) e fattore $c=-1$ otteniamo che:
$\omega_{P,-1}(x)=-x$
$\omega_{P,-1}(y)=-y$
$\omega_{P,-1}(z)=-z$
Nello specifico, il nostro vettore $O-P$ è diventato $\omega_{P,-1}(O-P)=(1,2,2)$ quindi $\omega_{P,-1}(O)=(1,2,3):=Q$. Ora che abbiamo definito il simmetrico di un punto della retta dobbiamo ritornare da $\Sigma'$ a $\Sigma$. Per farlo dobbiamo aggiungere le coordinate di $P$ quindi:
$O+P=(-1,-2,-2)+(1,2,2)=(0,0,0)_{\Sigma}:=O$, ovvero il punto O è tornato nell'origine.
$Q+P=(1,2,2)+(1,2,2)=(2,4,4)_{\Sigma}:=Q$ ovvero abbiamo trovato le coordinate nel sistema di riferimento iniziale dell'immagine dell'origine rispetto all'omotetia di centro $P$ e fattore $-1$.
Ora abbiamo la direzione della retta ed un punto della retta stessa, possiamo trovare le equazioni parametriche.
$s: x=2-t;y=4;z=4$
In forma cartesiana:
$s: y=4;z=4$
In alternativa, senza fare cambi di riferimenti, era abbastanza semplice calcolarsi le coordinate del simmetrico di $P$ pensandoci su un momento vista la semplicità della retta e considerando che siamo in $\mathbb R^3$.
Se pensi di spostare il riferimento $\Sigma=(O,E)$ dove $O$ è l'origine degli assi ed $E$ è la base canonica nel riferimento $\Sigma'=(P,E)$ ottieni che il punto $O\in r$ nel nuovo sistema di riferimento ha coordinate $O=(-1,-2,-2)_{\Sigma'}$, quindi abbiamo $O-P=(-1,-2,-2)_{\Sigma'}$. Ora, dalle equazioni della retta si può intuire che la sua direzione è data dal vettore $v_r=(1,0,0)$. Se noi applichiamo un'omotetia $\omega_{P,-1}$ di centro $P$ (che in questo caso è il centro del riferimento) e fattore $c=-1$ otteniamo che:
$\omega_{P,-1}(x)=-x$
$\omega_{P,-1}(y)=-y$
$\omega_{P,-1}(z)=-z$
Nello specifico, il nostro vettore $O-P$ è diventato $\omega_{P,-1}(O-P)=(1,2,2)$ quindi $\omega_{P,-1}(O)=(1,2,3):=Q$. Ora che abbiamo definito il simmetrico di un punto della retta dobbiamo ritornare da $\Sigma'$ a $\Sigma$. Per farlo dobbiamo aggiungere le coordinate di $P$ quindi:
$O+P=(-1,-2,-2)+(1,2,2)=(0,0,0)_{\Sigma}:=O$, ovvero il punto O è tornato nell'origine.
$Q+P=(1,2,2)+(1,2,2)=(2,4,4)_{\Sigma}:=Q$ ovvero abbiamo trovato le coordinate nel sistema di riferimento iniziale dell'immagine dell'origine rispetto all'omotetia di centro $P$ e fattore $-1$.
Ora abbiamo la direzione della retta ed un punto della retta stessa, possiamo trovare le equazioni parametriche.
$s: x=2-t;y=4;z=4$
In forma cartesiana:
$s: y=4;z=4$
In alternativa, senza fare cambi di riferimenti, era abbastanza semplice calcolarsi le coordinate del simmetrico di $P$ pensandoci su un momento vista la semplicità della retta e considerando che siamo in $\mathbb R^3$.
"Gios":
Salve ragazzi,
avrei un problema di geometria che non riesco a risolvere:
Sia fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano $O, x, y, z$.
Detta $r{(y=0),(z=0):}$ una retta (praticamente l'asse $x$), determinare la retta $r'$ simmetrica ad $r$ rispetto al punto $P(1,2,2)$.
Grazie in anticipo e spero che possiate aiutarmi!
Il punto $((x),(y),(z))$ viene trasformato nel punto $((x'),(y'),(z'))$
tale che:
$(((x+x')/2),((y+y')/2),((z+z')/2)) = ((1),(2),(2))$
Ringrazio Injo per la sua risposta estremamente dettagliata, ma purtroppo mi parli di cose che il mio professore non ha spiegato e quindi non credo posso utilizzare, anche perchè non sono a conoscenza di molti termini che tu hai utilizzato. Invece grazie a franced per la sua risposta che è proprio ciò che fa per me. Per essere chiari, il punto $((x),(y),(z))$ è un generico punto appartenente a $r$ e il punto $((x'),(y'),(z'))$ è un generico punto appartenente a $r'$, giusto?
"franced":
Il punto $((x),(y),(z))$ viene trasformato nel punto $((x'),(y'),(z'))$
tale che:
$(((x+x')/2),((y+y')/2),((z+z')/2)) = ((1),(2),(2))$
Quindi puoi considerare la trasformazione:
$\{ (x' = 2 - x),(y' = 4 - y),(z' = 4 - z) :}$
Scusa un'altra domanda, ma come sei arrivato a questa: $(((x+x')/2),((y+y')/2),((z+z')/2))=((1),(2),(2))$? E poi se puoi darmi per favore chiarimenti sul post precendente!
"Gios":
Scusa un'altra domanda, ma come sei arrivato a questa: $(((x+x')/2),((y+y')/2),((z+z')/2))=((1),(2),(2))$? E poi se puoi darmi per favore chiarimenti sul post precendente!
Questo viene dal fatto che il vettore $O-P=(1,2,2)$ quindi se tu cerchi il simmetrico rispetto ad $O$ del punto $P$ (lo chiamiamo $Q$) ti viene che $O-P=P-Q=(1,2,2)$. Le coordinate $Q=(x',y',z')$ si possono quindi facilmente trovare con $O-P+P-Q=O-P+O-P=2(O-P)=(2,4,4)$.
franced ti ha dato quella relazione in quanto un generico punto $R=(x,y,z)$ viene portato nel suo simmetrico $H=(x',y',z')$ e sappiamo che, essendo simmetrico, $H$ disterà da $P$ tanto quanto $R$. Quindi $\frac{H+R}{2}=P=(1,2,2)$.
"Gios":
Per essere chiari, il punto $((x),(y),(z))$ è un generico punto appartenente a $r$ e il punto $((x'),(y'),(z'))$ è un generico punto appartenente a $r'$, giusto?
Certo!
Perfetto vi ringrazio entrambi!
"Gios":
Perfetto vi ringrazio entrambi!
Bè, non abbiamo fatto molto..
Se hai altri esercizi scrivi!
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