Similitudine tra matrici e ordine di nilpotenza

[lucrezia beatrice]

ciao a tutti! ho una domanda teorica da proporre:
la similitudine implica ordine di nilpotenza? ossia, se due matrici sono simili hanno anche lo stesso ordine di nilpotenza? non ho trovato nulla a supporto né a confutazione di ciò, mi sembrava di averlo letto su un libro ma credo di aver male interpretato a questo punto, e da sola non riesco a dimostrarlo, mi chiedevo se qualcuno mi potesse aiutare

[dissonance]

Non mi sembra strano, Sergio. La matrice \(A\) ha "ordine di nilpotenza" \(k\) se \(A^k=0\) e \(A^{k-1}\ne 0\). Con questa definizione, è immediato che \(B=PAP^{-1}\) ha lo stesso ordine di nilpotenza di \(A\), perché
\[
B^{h}=PA^{h}P^{-1}, \quad \forall h\in \mathbb N.\]

[solaàl]

Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico; perciò una matrice quadrata di ordine $n$, simile a una nilpotente ha polinomio caratteristico \(X^n\). Quindi una matrice simile a una matrice nilpotente è nilpotente (con lo stesso ordine di nilpotenza: Hamilton-Cayley).

[dissonance]

@Sergio: se \(A^k\ne 0\) per ogni \(k\), potremmo dire che l'ordine di nilpotenza è infinito, e questa informazione si preserva per similitudine, per il motivo semplice che dicevamo prima.