Significato "storico" di 'chiuso'
Sto leggendo l'appendice Primi fondamenti della topologia di Pavel Alexandrov alla Geometria intuitiva -su cui ringrazio ancora Max e Vict per avermi dato indicazioni-, dove spesso si parla di insiemi chiusi. Mi rivolgo a chi l'abbia letta e a chi abbia familiarità con il vocabolario matematico degli anni '30 del secolo scorso: si intende con insieme chiuso ciò che si intende oggi in topologia con questo termine o piuttosto un insieme limitato? Lo chiedo perché non mi convince l'intendere chiuso nel senso di complementare di un aperto per esempio nella dimostrazione del teorema della trasposizione (p. 504 dell'ed. Bollati-Boringhieri del 2001)...
$\infty$ grazie a tutti!!!
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Potresti riportare il testo del teorema?
Si tratta del teorema per cui ogni insieme $F$ $r$-dimensionale può essere rappresentato in modo continuo su un poliedro $r$-dimensionale per mezzo d'una trasposizione $\epsilon$, per qualunque $\epsilon$.
Si tratta di tre paginette di dimostrazione in cui, in un passo intermedio, si arriva a dimostrare che, per ogni $\epsilon$, $F$ può essere rappresentato su un sottoinsieme $\Phi$ d'un poliedro $r$-dimensionale, per mezzo d'una trasposizione $\epsilon$. Si continua dicendo Consideriamo ora una scomposizione simpliciale $K$ di [tale poliedro $r$-dimensionale] $P$, i cui elementi siano minori di $\epsilon$. Siccome $\Phi$ è chiuso, esiste (a meno che non sia $\Phi=P$) un simplesso $r$-dimensionale $x^r$ di $K$, contenente un simplesso omotetico $x_0^r$ privo di punti di $\Phi$. Ciò mi fa pensare a chiuso nel senso di limitato, contenuto in una palla di raggio finito.
In un altro lemma del testo trovo che il numero di Lebesgue esiste sempre per un insieme chiuso (sottoinsieme di $\mathbb{R}^n$, suppongo).
D'altra parte mi pare che Hilbert, nello stesso volume, usi il termine campo fondamentale chiuso come sinonimo di campo fondamentale finito per esempio per il campo fondamentale di particolari traslazioni iperboliche nella § 36 del cap. 4. Se servisse, si noti anche che Alexandrov usa gli assiomi topologici di Hausdorff.
$\infty$ grazie di tutto!!!
Si tratta di tre paginette di dimostrazione in cui, in un passo intermedio, si arriva a dimostrare che, per ogni $\epsilon$, $F$ può essere rappresentato su un sottoinsieme $\Phi$ d'un poliedro $r$-dimensionale, per mezzo d'una trasposizione $\epsilon$. Si continua dicendo Consideriamo ora una scomposizione simpliciale $K$ di [tale poliedro $r$-dimensionale] $P$, i cui elementi siano minori di $\epsilon$. Siccome $\Phi$ è chiuso, esiste (a meno che non sia $\Phi=P$) un simplesso $r$-dimensionale $x^r$ di $K$, contenente un simplesso omotetico $x_0^r$ privo di punti di $\Phi$. Ciò mi fa pensare a chiuso nel senso di limitato, contenuto in una palla di raggio finito.
In un altro lemma del testo trovo che il numero di Lebesgue esiste sempre per un insieme chiuso (sottoinsieme di $\mathbb{R}^n$, suppongo).
D'altra parte mi pare che Hilbert, nello stesso volume, usi il termine campo fondamentale chiuso come sinonimo di campo fondamentale finito per esempio per il campo fondamentale di particolari traslazioni iperboliche nella § 36 del cap. 4. Se servisse, si noti anche che Alexandrov usa gli assiomi topologici di Hausdorff.
$\infty$ grazie di tutto!!!
Siccome parla addirittura di dimensione dell'insieme direi che quell'insieme è supposto essere una varietà r-dimensionale immersa con immagine compatta. Nota che usare chiuso per dire compatto è comune anche nelle superfici, pensa al grafico di un polinomio \(F(x,y)\) in \(\mathbf{R}^3\). Questo è un insieme chiuso ma non è una superficie chiusa.
Grazie di cuore, Vict!
Molto, molto interessante... Nel caso del lemma di Lebesgue per cui a ogni ricoprimento \(S=(F_1,...,F_s)\) dell'insieme chiuso $F$ corrisponde un numero \(\sigma=\sigma(S)\) -il numero di Lebesgue del ricoprimento $S$- avente la seguente propriertà: se esiste un punto $a$ con distanza $<\sigma$ da certi elementi, per fissare le idee da $F_{i_1},...,F_{i_k}$, del ricoprimento $S$, gli insiemi $F_{i_1},...,F_{i_k}$ hanno una parte comune (intersezione) non vuota mi sembra che però, durante la dimostrazione, non si imponga la compattezza (né la chiusura in senso topologico moderno né la limitatezza) di $F$, ma solo la finitezza del ricoprimento, che d'altra parte esiste sempre se $F$ è limitato. Questo lemma è valido anche per $F$ non compatto, purché gli insiemi del ricoprimento siano $s<+\infty$? $\infty$ grazie ancora!!!
Molto, molto interessante... Nel caso del lemma di Lebesgue per cui a ogni ricoprimento \(S=(F_1,...,F_s)\) dell'insieme chiuso $F$ corrisponde un numero \(\sigma=\sigma(S)\) -il numero di Lebesgue del ricoprimento $S$- avente la seguente propriertà: se esiste un punto $a$ con distanza $<\sigma$ da certi elementi, per fissare le idee da $F_{i_1},...,F_{i_k}$, del ricoprimento $S$, gli insiemi $F_{i_1},...,F_{i_k}$ hanno una parte comune (intersezione) non vuota mi sembra che però, durante la dimostrazione, non si imponga la compattezza (né la chiusura in senso topologico moderno né la limitatezza) di $F$, ma solo la finitezza del ricoprimento, che d'altra parte esiste sempre se $F$ è limitato. Questo lemma è valido anche per $F$ non compatto, purché gli insiemi del ricoprimento siano $s<+\infty$? $\infty$ grazie ancora!!!
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