Significato geometrico di coordinate rispetto ad una base data
Ciao - sono una neofita autodidatta con le idee molto molto confuse.
Qualcuno potrebbe chiarirmi con un disegno il significato di queste asserzioni poste in un esempio ?
Eccolo:
Sia V il piano di R3 di equazione x+y+z=0 con base (-1,1,0), (-1,0,1).
Allora: x( (-y-z , y, z ) ) = [y, z]
Ho capito solo che con i coefficienti y e z applicati alla base data ottengo il vettore (-y-z , y , z).
Ma è come se stessi facendo un "gioco" (le cui regole potrei dimenticare appena affronto un tema successivo), mentre io vorrei visualizzare il concetto .... che è quello che non riesco a capire.
Potete aiutarmi?
Molte e molte grazie
Rosa Munda
Qualcuno potrebbe chiarirmi con un disegno il significato di queste asserzioni poste in un esempio ?
Eccolo:
Sia V il piano di R3 di equazione x+y+z=0 con base (-1,1,0), (-1,0,1).
Allora: x( (-y-z , y, z ) ) = [y, z]
Ho capito solo che con i coefficienti y e z applicati alla base data ottengo il vettore (-y-z , y , z).
Ma è come se stessi facendo un "gioco" (le cui regole potrei dimenticare appena affronto un tema successivo), mentre io vorrei visualizzare il concetto .... che è quello che non riesco a capire.
Potete aiutarmi?
Molte e molte grazie
Rosa Munda
Risposte
Ciao.
Cercherò di rispondere in un modo un po' semplicistico, ma almeno sperabilmente chiaro.
Consideriamo il classico riferimento cartesiano ortogonale monometrico $Oxy$ per $RR^2$; è noto che, dato un punto $P$ del piano, tracciando da esso le rette parallele agli assi coordinati $x$ e $y$ (in modo tale che la retta parallela all'asse $x$ intersechi l'asse $y$ e viceversa), si ricavano, sui rispettivi assi, due numeri reali $x_P$ e $y_P$ che costituiscono ciò che chiamiamo "coordinate del punto"; di solito si scrive che:
$P=(x_P,y_P)$
In realtà si sottointende che il punto $P$ sia un vettore $v=vec(OP) in RR^2$ applicato all'origine $O$ del sistema di riferimento.
Si noti che vale
$v=(x_P,y_P)=x_P*(1,0)+y_P*(0,1)$
dove i vettori $(1,0),(0,1)$ costituiscono una base di $RR^2$ detta "base canonica (di $RR^2$)".
Quindi la coppia $(x_P,y_P)$ costituisce le coordinate del vettore $v$ rispetto alla base canonica; quest'ultima induce un sistema di coordinate nel piano per cui, prendendo punti a coordinate intere, si ha la formazione di una sorta di "reticolo" nel piano, costituito da quadrati aventi lato unitario.
Si osservi che i due vettori della base canonica individuano le direzioni (con orientamento) degli assi coordinati, mentre le lunghezze dei vettori stessi individuano la "scala" lungo i rispettivi assi.
Ora, prendendo un'altra base $B={v_1,v_2}$ di $RR^2$, si avrà a che fare con un altro sistema di riferimento, con due generici assi $x'$ e $y'$ costituiti da queste caratteristiche:
-le direzioni dei due vettori $v_1$ e $v_2$ della base individuano le rispettive direzioni dei nuovi assi $x'$ e $y'$;
-i versi dei due vettori $v_1$ e $v_2$ individuano l'orientamento dei nuovi assi $x'$ e $y'$ (cioè il "verso di crescenza" dei numeri reali lungo ciascun asse);
-le lunghezze dei due vettori $v_1$ e $v_2$ individuano le rispettive "scale" attribuite agli assi.
Il vettore $v$ è scrivibile come combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$ in una forma del tipo
$v=a*v_1+b*v_2$
dove i numeri reali $a,b$ costituiscono le coordinate di $v$ rispetto alla base $B$.
Dal punto di vista geometrico, volendo attuare una procedura simile a quella del caso precedente, si tracciano, dal punto finale $P$ del vettore $v$, le rette parallele ai nuovi assi coordinati (che potrebbero essere non ortogonali tra di loro) in modo tale che la parallela ad un asse intersechi l'altro asse; i valori individuati dovrebbero essere i numeri $a$ per l'asse $x'$ e $b$ per l'asse $y'$.
Rifacendosi all'esempio del "reticolo" del caso precedente, in questo caso i punti a coordinate intere costituiranno un nuovo "reticolo" nel piano formato da tanti parallelogrammi aventi i lati coincidenti con le lunghezze dei vettori $v_1,v_2$ della nuova base.
Spero di essere stato chiaro, almeno un po'.
Saluti.
Cercherò di rispondere in un modo un po' semplicistico, ma almeno sperabilmente chiaro.
Consideriamo il classico riferimento cartesiano ortogonale monometrico $Oxy$ per $RR^2$; è noto che, dato un punto $P$ del piano, tracciando da esso le rette parallele agli assi coordinati $x$ e $y$ (in modo tale che la retta parallela all'asse $x$ intersechi l'asse $y$ e viceversa), si ricavano, sui rispettivi assi, due numeri reali $x_P$ e $y_P$ che costituiscono ciò che chiamiamo "coordinate del punto"; di solito si scrive che:
$P=(x_P,y_P)$
In realtà si sottointende che il punto $P$ sia un vettore $v=vec(OP) in RR^2$ applicato all'origine $O$ del sistema di riferimento.
Si noti che vale
$v=(x_P,y_P)=x_P*(1,0)+y_P*(0,1)$
dove i vettori $(1,0),(0,1)$ costituiscono una base di $RR^2$ detta "base canonica (di $RR^2$)".
Quindi la coppia $(x_P,y_P)$ costituisce le coordinate del vettore $v$ rispetto alla base canonica; quest'ultima induce un sistema di coordinate nel piano per cui, prendendo punti a coordinate intere, si ha la formazione di una sorta di "reticolo" nel piano, costituito da quadrati aventi lato unitario.
Si osservi che i due vettori della base canonica individuano le direzioni (con orientamento) degli assi coordinati, mentre le lunghezze dei vettori stessi individuano la "scala" lungo i rispettivi assi.
Ora, prendendo un'altra base $B={v_1,v_2}$ di $RR^2$, si avrà a che fare con un altro sistema di riferimento, con due generici assi $x'$ e $y'$ costituiti da queste caratteristiche:
-le direzioni dei due vettori $v_1$ e $v_2$ della base individuano le rispettive direzioni dei nuovi assi $x'$ e $y'$;
-i versi dei due vettori $v_1$ e $v_2$ individuano l'orientamento dei nuovi assi $x'$ e $y'$ (cioè il "verso di crescenza" dei numeri reali lungo ciascun asse);
-le lunghezze dei due vettori $v_1$ e $v_2$ individuano le rispettive "scale" attribuite agli assi.
Il vettore $v$ è scrivibile come combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$ in una forma del tipo
$v=a*v_1+b*v_2$
dove i numeri reali $a,b$ costituiscono le coordinate di $v$ rispetto alla base $B$.
Dal punto di vista geometrico, volendo attuare una procedura simile a quella del caso precedente, si tracciano, dal punto finale $P$ del vettore $v$, le rette parallele ai nuovi assi coordinati (che potrebbero essere non ortogonali tra di loro) in modo tale che la parallela ad un asse intersechi l'altro asse; i valori individuati dovrebbero essere i numeri $a$ per l'asse $x'$ e $b$ per l'asse $y'$.
Rifacendosi all'esempio del "reticolo" del caso precedente, in questo caso i punti a coordinate intere costituiranno un nuovo "reticolo" nel piano formato da tanti parallelogrammi aventi i lati coincidenti con le lunghezze dei vettori $v_1,v_2$ della nuova base.
Spero di essere stato chiaro, almeno un po'.
Saluti.
Ciao Alessandro,
intanto mi scuso del ritardo, ma non mi è pervenuto alcun avviso e ormai non avevo speranze che qualcuno rispondesse.
la tua risposta è molto chiara e a mio modesto parere molto professionale e ben articolata.
Purtroppo sono io poco chiara. In effetti del significato di base (anche geometricamente parlando) ho visto una spiegazione/visualizzazione e l'ho capita, ma quello che non riesco a visualizzare in questo esercizio è la sua esplicazione pratica: vorrei "vederlo" disegnato il vettore trovato (ha 3 componenti e una base di 2) ... probabilmente non ho capito molto e me ne scuso. Un grazie di cuore. Ciao, Rosa munda
intanto mi scuso del ritardo, ma non mi è pervenuto alcun avviso e ormai non avevo speranze che qualcuno rispondesse.
la tua risposta è molto chiara e a mio modesto parere molto professionale e ben articolata.
Purtroppo sono io poco chiara. In effetti del significato di base (anche geometricamente parlando) ho visto una spiegazione/visualizzazione e l'ho capita, ma quello che non riesco a visualizzare in questo esercizio è la sua esplicazione pratica: vorrei "vederlo" disegnato il vettore trovato (ha 3 componenti e una base di 2) ... probabilmente non ho capito molto e me ne scuso. Un grazie di cuore. Ciao, Rosa munda
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