Significato fisico della matrice associata.

[ludovicovan1]

Ciao a tutti ragazzi.
io ho un problema con il significato della matrice associata.Ho notato che sul forum ci sono moltissime conversazioni in cui si spiega come trovare la matrice associata ad una applicazione lineare,ma cio che non riesco a comprendere è il suo significato pratico!
supponiamo di avere una applicazione lineare che quindi ''trasforma'' un elemento dello spazio vettoriale di partenza,in un elemento dello spazio vettoriale di arrivo e associamo a questa applicazione una matrice A.
Questa matrice è quindi quella matrice che moltiplicata per un elemento dello spazio vettoriale di partenza,me ne restituisce uno dello spazio di arrivo?
Inoltre,anche se puo sembrare stupido,non rieco a capire la differenza con una matrice di passaggio che mi permette di passare da una base ad un'altra.
Se prendo in considerazione uno spazio vettoriale di dimensione generica e considero la sua base canonica e una generica base di quest'ultimo:la matrice di passaggio è quella che mi permette di scrivere un vettore della base canonica,come combinazione lineare della base generica?
ma quindi c'è differenza tra le due?
Spero abbiate capito il mio dubbio e possiate aiutarmi!
grazie

[angeloferrari]

anche a me interessano questi aspetti, potrei abbozzare qualche risposta ma evito di dire stupidate, prendilo come un up

[ludovicovan1]

perfetto allora aspettiamo che qualcuno ci risponda:)

[Riccardo Desimini]

"ludovicovan":supponiamo di avere una applicazione lineare che quindi ''trasforma'' un elemento dello spazio vettoriale di partenza,in un elemento dello spazio vettoriale di arrivo e associamo a questa applicazione una matrice A.
Questa matrice è quindi quella matrice che moltiplicata per un elemento dello spazio vettoriale di partenza,me ne restituisce uno dello spazio di arrivo?

Quello della matrice associata è un espediente adottabile solo nel caso di applicazioni lineari e la sua peculiarità è quella di descrivere le componenti dei vettori a cui è applicata una trasformazione lineare.

"ludovicovan":
Inoltre,anche se puo sembrare stupido,non rieco a capire la differenza con una matrice di passaggio che mi permette di passare da una base ad un'altra.
Se prendo in considerazione uno spazio vettoriale di dimensione generica e considero la sua base canonica e una generica base di quest'ultimo:la matrice di passaggio è quella che mi permette di scrivere un vettore della base canonica,come combinazione lineare della base generica?
ma quindi c'è differenza tra le due?
Spero abbiate capito il mio dubbio e possiate aiutarmi!
grazie

Sia \( V \) uno spazio vettoriale e siano \( B_1 \) e \( B_2 \) due sue basi. La matrice di cambio base da \( B_1 \) a \( B_2 \) non è altro che la matrice associata all'applicazione lineare \( \mathbf{1}_V \) rispetto a \( B_1 \) e \( B_2 \).

Come vedi, la matrice di cambio base è una matrice associata ad una specifica applicazione lineare. Il suo nome è dovuto unicamente al ruolo che svolge, cioè quello di esprimere le componenti rispetto a \( B_1 \) di un vettore rispetto a \( B_2 \).

[Seneca1]

Ci sono diversi vantaggi nel considerare la rappresentazione matriciale di un'applicazione lineare. Basti pensare alla relativa semplicità con cui si svolge la determinazione della composizione di due appl. lineari: mediante il prodotto righe per colonne di due matrici.

[Ariz93]

Mai fato il doppio pendolo ottendendo due sistemi lineari di equazioni differenziali? Per trovare una soluzione omogenea bisogna trovare il ker della matrice associata al sistema lineare.. non ho ancora fatto meccanica classica(penso qui siamo tutti fisici eheh) almeno per me per ora è la regina dei sistemi lineari xD.