Significato del determinante per matrici 2x2

[paolo19951]

Ciao a tutti, non riuscivo a svolgere questo esercizio, ne tantomeno a iniziarlo anche se so un po di teoria sui determinanti:

A) Dati 2 vettori generici (a, c) e (b, d) in R^2 si dimostri che il determinante della matrice che ha i due vettori per colonne non cambia se ruotiamo entrambi i vettori di uno stesso angolo alfa.Ricordiamo che tale rotazione corrisponde a un applicazione lineare che è data (nella base canonica) dalla matrice con la prima riga (cos (alfa) sin (alfa)) e la seconda riga ((-sin (alfa) cos(alfa))

L esercizio è questo ma come ho già scritto non so neppure da cosa iniziare (non ho mai sentito parlare di rotazioni varie)....grazie per l aiuto!!!

[Pappappero1]

Hai un'applicazione lineare da $A : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ data dalla matrice di rotazione.

Prendiamo due vettori colonna $v_1,v_2$. Prendiamo i due vettori ruotati $w_1 = Av_1$ e $w_2 = Av_2$. Vogliamo semplicemente far vedere che
\[det( v_1| v_2) = det(w_1 | w_2)\]
dove il simbolo $|$ semplicemente indica i due vettori affiancati.

Prova a scrivere esplicitamente le entrate delle due matrice e i due determinanti e usando un po' di trigonometria dovresti essere in grado di ottenere il risultato che desideriamo.

[paolo19951]

Innanzitutto grazie per la risposta, ma c e un problema, non so perche ma ogni volta che scrivevo una risposta a questa domanda me la ripubblicava in automatico, me ne sono sccorto ora che è stato pubblicata 3 volte, sai come eliminare quelle 2 in piu?