Si scriva la matrice di rappresentazione di T rispetto alla base canonica di \(\mathbb{C}^3 \).
ciao a tutti! non riesco a venire a capo di questo esercizio, potreste aiutarmi?
Sia T: \(\mathbb{C}^3 \rightarrow \mathbb{C}^3 \) un'applicazione lineare tale che
\(T \begin{pmatrix} 0 \\ i \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\ 2i \\ -2 \end{pmatrix} , T \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ i \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1+i \\ 2+3i \\ 3i \end{pmatrix} , T \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ i \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} i \\ 2+3i \\ 2i \end{pmatrix} \)
Devo confessare che ho già postato un esercizio molto simile ma questo non riesco proprio a risolverlo. vi mostro fino a che punto sono arrivato e vediamo se ho fatto giusto..
\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= \alpha \begin{pmatrix} -1 \\ 2i \\ -2 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1+i \\ 2+3i \\ 3i \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} i \\ 2+3i \\ 2i \end{pmatrix} \)
ora costruisco il sitema:
\( \begin{cases} - \alpha + \beta (1+i) + i \gamma =1 \\ 2i \alpha +\beta(2+3i)+\gamma(2+3i)=0 \\ -2\alpha + 3i\beta+2i\gamma=0 \end{cases} \)
ora, \(\alpha, \beta, \gamma \) vengono dei numeri abbastanza "scomodi" cioè: \(\alpha= - \frac{3+2i}{3+6i} , \beta \frac{2i}{1+2i} , \gamma = \frac{-2+6i}{3+6i} \)
quindi:
\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= - \frac{3+2i}{3+6i} \begin{pmatrix} -1 \\ 2i \\ -2 \end{pmatrix} + \frac{2i}{1+2i} \begin{pmatrix} 1+i \\ 2+3i \\ 3i \end{pmatrix} + \frac{-2+6i}{3+6i} \begin{pmatrix} i \\ 2+3i \\ 2i \end{pmatrix} \)
e quindi il sistema viene:
\( \begin{cases} \frac{3+2i}{3+6i} + \frac{2i-2}{1+2i}+\frac{-6-2i}{3+6i}=1 \\ \frac{-6i+4}{3+6i}+\frac{4i-6}{1+2i}+\frac{6i-22}{3+6i}=0 \\ \frac{6+4i}{3+6i}-\frac{6}{1+2i}+\frac{-12+4i}{3+6i}=0 \end{cases} \)
= \( \begin{cases} \frac{2i-3}{2i+1}=1 \\ 2i+36=0 \\ 8i+24=0 \end{cases} \)
sono sicuro che ci sia qualcosa di sbagliato, anche perchè poi devo ripetere lo stesso procedimento per altre tre volte visto che la matrice di rappresentazione di T è 3x3.
grazie in anticipo!
Sia T: \(\mathbb{C}^3 \rightarrow \mathbb{C}^3 \) un'applicazione lineare tale che
\(T \begin{pmatrix} 0 \\ i \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\ 2i \\ -2 \end{pmatrix} , T \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ i \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1+i \\ 2+3i \\ 3i \end{pmatrix} , T \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ i \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} i \\ 2+3i \\ 2i \end{pmatrix} \)
Devo confessare che ho già postato un esercizio molto simile ma questo non riesco proprio a risolverlo. vi mostro fino a che punto sono arrivato e vediamo se ho fatto giusto..
\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= \alpha \begin{pmatrix} -1 \\ 2i \\ -2 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1+i \\ 2+3i \\ 3i \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} i \\ 2+3i \\ 2i \end{pmatrix} \)
ora costruisco il sitema:
\( \begin{cases} - \alpha + \beta (1+i) + i \gamma =1 \\ 2i \alpha +\beta(2+3i)+\gamma(2+3i)=0 \\ -2\alpha + 3i\beta+2i\gamma=0 \end{cases} \)
ora, \(\alpha, \beta, \gamma \) vengono dei numeri abbastanza "scomodi" cioè: \(\alpha= - \frac{3+2i}{3+6i} , \beta \frac{2i}{1+2i} , \gamma = \frac{-2+6i}{3+6i} \)
quindi:
\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= - \frac{3+2i}{3+6i} \begin{pmatrix} -1 \\ 2i \\ -2 \end{pmatrix} + \frac{2i}{1+2i} \begin{pmatrix} 1+i \\ 2+3i \\ 3i \end{pmatrix} + \frac{-2+6i}{3+6i} \begin{pmatrix} i \\ 2+3i \\ 2i \end{pmatrix} \)
e quindi il sistema viene:
\( \begin{cases} \frac{3+2i}{3+6i} + \frac{2i-2}{1+2i}+\frac{-6-2i}{3+6i}=1 \\ \frac{-6i+4}{3+6i}+\frac{4i-6}{1+2i}+\frac{6i-22}{3+6i}=0 \\ \frac{6+4i}{3+6i}-\frac{6}{1+2i}+\frac{-12+4i}{3+6i}=0 \end{cases} \)
= \( \begin{cases} \frac{2i-3}{2i+1}=1 \\ 2i+36=0 \\ 8i+24=0 \end{cases} \)
sono sicuro che ci sia qualcosa di sbagliato, anche perchè poi devo ripetere lo stesso procedimento per altre tre volte visto che la matrice di rappresentazione di T è 3x3.
grazie in anticipo!
Risposte
La base canonica di $\mathbb{C}^3$ è data dai vettori $e_1,e_2,e_3$; usa la linearità di $T$ per scriverli, ad esempio
\[
T
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}
=-i T
\begin{pmatrix}
0\\
i\\
0\\
\end{pmatrix}
\] e così via... Una volta che sai chi sono le immagini dei vettori della base canonica hai trovato la matrice.
\[
T
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}
=-i T
\begin{pmatrix}
0\\
i\\
0\\
\end{pmatrix}
\] e così via... Una volta che sai chi sono le immagini dei vettori della base canonica hai trovato la matrice.
ho capito cosa intendi e per il primo vettore non ci sono problemi.. ma i restanti 2?
Sai che
\[
T
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
i\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1+i\\
2+3i\\
3i
\end{pmatrix};
\quad
T
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
i\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
i\\
2+3i\\
2i
\end{pmatrix};
\]
allora, per linearità;
\[
T
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}=
T
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
i
\end{pmatrix}-
T
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
i
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1+i\\
2+3i\\
3i
\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}
i\\
2+3i\\
2i
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
i
\end{pmatrix}.
\]
Per il terzo vettore fai uguale; cioè
\[
T
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}=
T
\begin{pmatrix}
0\\
i\\
0
\end{pmatrix}-
iT
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
i
\end{pmatrix}=...
\] e hai fatto. Poi per scrivere la matrice metti nelle colonne le immagini dei vettori della base canonica. Solitamente questa tipologia di esercizi si affronta in questo modo.
\[
T
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
i\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1+i\\
2+3i\\
3i
\end{pmatrix};
\quad
T
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
i\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
i\\
2+3i\\
2i
\end{pmatrix};
\]
allora, per linearità;
\[
T
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}=
T
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
i
\end{pmatrix}-
T
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
i
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1+i\\
2+3i\\
3i
\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}
i\\
2+3i\\
2i
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
i
\end{pmatrix}.
\]
Per il terzo vettore fai uguale; cioè
\[
T
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}=
T
\begin{pmatrix}
0\\
i\\
0
\end{pmatrix}-
iT
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
i
\end{pmatrix}=...
\] e hai fatto. Poi per scrivere la matrice metti nelle colonne le immagini dei vettori della base canonica. Solitamente questa tipologia di esercizi si affronta in questo modo.
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