Si considerino i sottospazi:
Buongiorno a tutti,
nella prova d'esame c'era il seguente esercizio:
In R3[x] = {f(x) $in$ R[x] : gr (f) $<=$ 3} si considerino i sottospazi:
U = L([f(x) = 1+2x+3 x^2 ; g(x) = 1 + x + x^2 + x^3]) e
W = L([h(x) = 1 + 3x + 5x^2 ; k(x) = 2 x^3]).
1)Determinare U+W e una sua base; tale somma è diretta?
2) Completare la base di U+W a una base di R3[x]
è una scrittura che non avevo mai trovato prima... Potete dirmi per favore solamente come si scrive la matrice associata?
Grazie, e auguri di buone feste!
nella prova d'esame c'era il seguente esercizio:
In R3[x] = {f(x) $in$ R[x] : gr (f) $<=$ 3} si considerino i sottospazi:
U = L([f(x) = 1+2x+3 x^2 ; g(x) = 1 + x + x^2 + x^3]) e
W = L([h(x) = 1 + 3x + 5x^2 ; k(x) = 2 x^3]).
1)Determinare U+W e una sua base; tale somma è diretta?
2) Completare la base di U+W a una base di R3[x]
è una scrittura che non avevo mai trovato prima... Potete dirmi per favore solamente come si scrive la matrice associata?
Grazie, e auguri di buone feste!
Risposte
Se ti riferisci alla scrittura "R3[x] = {f(x) ∈ R[x] : gr (f) ≤ 3}", come da te indicata (in maniera un tantino ...artigianale 
), essa rappresenta lo spazio (vettoriale) P dei polinomi a coefficienti reali e di grado non superiore a 3, mentre U e W sono sottospazi di P, rappresentati come Span ( indicato spesso col simbolo "L") delle due coppie di polinomi ${f(x),g(x)}$ e ${h(x),k(x)}$, la prima per U e la seconda per W. Per rispondere alle domande specifiche del quesito, io comincerei col trovare $U cap W $ e per fare ciò trovo le combinazioni lineari di h(x) e k(x) che coincidono con le combinazioni analoghe di f(x) e g(x) :
$a(1+3x+5x^2)+b(2x^3)=c(1+2x+3x^2)+d(1+x+x^2+x^3)$
Eguagliando i coefficienti delle potenze di "x" con identico esponente, si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}a-c-d=0\\3a-2c-d=0\\5a-3c-d=0\\2b-d=0\end{cases} \)
Una delle infinite soluzioni di tale sistema è $(2,-1,4,-2)$ e quindi risulta :
$U cap W=L{(2+6x+10x^2-2x^3)}$
Per Grassmann si ha allora :
$dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U cap W) =2+2-1=3$, da cui si deduce che $U+W$ non è somma diretta di $ U $ e $W$ perché $ U cap W $ non si riduce al solo vettore nullo e quindi $U+W$ non ha dimensione piena ( =4). Per avere dunque una base di $U+W$ occorrono 3 polinomi lin. ind. Allo scopo, possiamo scegliere un polinomio di $ U $, uno di $W$ e come terzo polinomio quello che genera $Ucap W$. Pertanto :
$base(U+W)={(2x^3),(1+2x+3x^2),(2+6x+10x^2-2x^3)}$
[ lascio a te la verifica che i 3 polinomi della base di $U+W$ sono effettivamente lin. ind.]
Per completare la base di cui prima ad una base di $mathbb{R_3[x]}$ occorre un quarto polinomio lin.ind dai 3 già scelti. Ma anche questo compito lo demando a te...
), essa rappresenta lo spazio (vettoriale) P dei polinomi a coefficienti reali e di grado non superiore a 3, mentre U e W sono sottospazi di P, rappresentati come Span ( indicato spesso col simbolo "L") delle due coppie di polinomi ${f(x),g(x)}$ e ${h(x),k(x)}$, la prima per U e la seconda per W. Per rispondere alle domande specifiche del quesito, io comincerei col trovare $U cap W $ e per fare ciò trovo le combinazioni lineari di h(x) e k(x) che coincidono con le combinazioni analoghe di f(x) e g(x) :$a(1+3x+5x^2)+b(2x^3)=c(1+2x+3x^2)+d(1+x+x^2+x^3)$
Eguagliando i coefficienti delle potenze di "x" con identico esponente, si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}a-c-d=0\\3a-2c-d=0\\5a-3c-d=0\\2b-d=0\end{cases} \)
Una delle infinite soluzioni di tale sistema è $(2,-1,4,-2)$ e quindi risulta :
$U cap W=L{(2+6x+10x^2-2x^3)}$
Per Grassmann si ha allora :
$dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U cap W) =2+2-1=3$, da cui si deduce che $U+W$ non è somma diretta di $ U $ e $W$ perché $ U cap W $ non si riduce al solo vettore nullo e quindi $U+W$ non ha dimensione piena ( =4). Per avere dunque una base di $U+W$ occorrono 3 polinomi lin. ind. Allo scopo, possiamo scegliere un polinomio di $ U $, uno di $W$ e come terzo polinomio quello che genera $Ucap W$. Pertanto :
$base(U+W)={(2x^3),(1+2x+3x^2),(2+6x+10x^2-2x^3)}$
[ lascio a te la verifica che i 3 polinomi della base di $U+W$ sono effettivamente lin. ind.]
Per completare la base di cui prima ad una base di $mathbb{R_3[x]}$ occorre un quarto polinomio lin.ind dai 3 già scelti. Ma anche questo compito lo demando a te...
"ciromario":
Se ti riferisci alla scrittura "R3[x] = {f(x) ∈ R[x] : gr (f) ≤ 3}", come da te indicata (in maniera un tantino ...artigianale
$a(1+3x+5x^2)+b(2x^3)=c(1+2x+3x^2)+d(1+x+x^2+x^3)$
Eguagliando i coefficienti delle potenze di "x" con identico esponente, si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}a-c-d=0\\3a-2c-d=0\\5a-3c-d=0\\2b-d=0\end{cases} \)
Una delle infinite soluzioni di tale sistema è $(2,-1,4,-2)$ e quindi risulta :
$U cap W=L{(2+6x+10x^2-2x^3)}$
Per Grassmann si ha allora :
$dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U cap W) =2+2-1=3$, da cui si deduce che $U+W$ non è somma diretta di $ U $ e $W$ perché $ U cap W $ non si riduce al solo vettore nullo e quindi $U+W$ non ha dimensione piena ( =4). Per avere dunque una base di $U+W$ occorrono 3 polinomi lin. ind. Allo scopo, possiamo scegliere un polinomio di $ U $, uno di $W$ e come terzo polinomio quello che genera $Ucap W$. Pertanto :
$base(U+W)={(2x^3),(1+2x+3x^2),(2+6x+10x^2-2x^3)}$
[ lascio a te la verifica che i 3 polinomi della base di $U+W$ sono effettivamente lin. ind.]
Per completare la base di cui prima ad una base di $mathbb{R_3[x]}$ occorre un quarto polinomio lin.ind dai 3 già scelti. Ma anche questo compito lo demando a te...
Io avevo scritto i polinomi in matrice :
$((1,3,5,0),(0,0,0,2),(1,2,3,0),(1,1,1,1))$
In questo modo ho trovato una base di U + W... Mi è venuto che la dim di U + W è tre.. E tramite Grassmann ho verificato che non si tratta di forma diretta,
È sbagliato?
Grazie per la risposta!
Non è assolutamente sbagliato! Devo anzi dire che il metodo di sostituire ad ogni polinomio il vettore ordinato( riga o colonna che sia) dei suoi coefficienti è proprio il metodo che preferisco e che ho usato tante volte per rispondere a quesiti analoghi al tuo...Il fatto è che non tutti sono a conoscenza dell'isomorfismo esistente tra $R_3[x]$ e il sottospazio dei vettori coefficienti e quindi, per l'occasione, ho scelto di lavorare direttamente con i polinomi.
"ciromario":
Non è assolutamente sbagliato! Devo anzi dire che il metodo di sostituire ad ogni polinomio il vettore ordinato( riga o colonna che sia) dei suoi coefficiente è proprio il metodo che preferisco e che ho usato tante volte per rispondere a quesiti analoghi al tuo...Il fatto è che non tutti sono a conoscenza dell'isomorfismo esistente tra $R_3[x]$ e il sottospazio dei vettori coefficienti e quindi, per l'occasione, ho scelto di lavorare direttamente con i polinomi.
grazie mille! Gentilissimo... Buone feste 
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