Sfere tangenti a due piani e passanti per due punti (dati)
Buongiorno a tutti.
Oggi sono rintronato di brutto: scusatemi, ma avrei bisogno di una mano su quest'esercizio di geometria analitica nello spazio.
Esercizio. Si considerino i piani $yz$ e $xz$ e i punti $A=(1,3,2)$ e $B=(3,1,-2)$. Si chiedono le equazioni delle sfere tangenti ai piani e passanti per i punti A e B.
Soluzione. Mi piacerebbe molto usare i fasci (anche perchè il testo mi dice le sfere, al plurale: e questo mi fa propendere per l'uso dei fasci) ma non so come. Mi sono già incasinato (è da ieri sera che ci lavoro) e ho pensato varie alternative: ho scritto il fascio generato dalle sfere degeneri di centro i punti A e B e raggio nullo; ho provato a ragionare sul fatto che il problema sembra essere simmetrico rispetto al piano $xy$ (i punti sono simmetrici rispetto a tale piano). Ancora ho cercato di determinare l'equazione della circonferenza per A e B (ma su quale piano sta?).
In tutti i casi, un bel nulla di fatto, se tiro fuori qualche risultato è comunque sbagliato.
Qualcuno sa indirizzarmi sulla retta via, per piacere? Mi basta un input
Grazie in anticipo
Oggi sono rintronato di brutto: scusatemi, ma avrei bisogno di una mano su quest'esercizio di geometria analitica nello spazio.
Esercizio. Si considerino i piani $yz$ e $xz$ e i punti $A=(1,3,2)$ e $B=(3,1,-2)$. Si chiedono le equazioni delle sfere tangenti ai piani e passanti per i punti A e B.
Soluzione. Mi piacerebbe molto usare i fasci (anche perchè il testo mi dice le sfere, al plurale: e questo mi fa propendere per l'uso dei fasci) ma non so come. Mi sono già incasinato (è da ieri sera che ci lavoro) e ho pensato varie alternative: ho scritto il fascio generato dalle sfere degeneri di centro i punti A e B e raggio nullo; ho provato a ragionare sul fatto che il problema sembra essere simmetrico rispetto al piano $xy$ (i punti sono simmetrici rispetto a tale piano). Ancora ho cercato di determinare l'equazione della circonferenza per A e B (ma su quale piano sta?).
In tutti i casi, un bel nulla di fatto, se tiro fuori qualche risultato è comunque sbagliato.
Qualcuno sa indirizzarmi sulla retta via, per piacere? Mi basta un input
Grazie in anticipo
Risposte
Ti lancio un'idea, purtroppo sono incasinato e non ho l'idea di verificarla percui potrebbe essere falsa, però se i piani sono tangenti vuol dire che la retta perpendicolare al piano in un certo punto $P$ è il luogo dei possibili centri della sfera.
Tu hai due piani, perciò prendi un generico punto su uno ed un generico punto sull'altro e ti calcoli le perpendicolari ai piani. Intersecando le due rette troverai il centro della tua sfera di centro l'intersezione delle due rette e raggio la distanza di $C$ da uno dei due punti. A questo punto imponendo il passaggio per $A,B$ dovresti liberarti di qualche parametro.
E' solo un'idea.
Tu hai due piani, perciò prendi un generico punto su uno ed un generico punto sull'altro e ti calcoli le perpendicolari ai piani. Intersecando le due rette troverai il centro della tua sfera di centro l'intersezione delle due rette e raggio la distanza di $C$ da uno dei due punti. A questo punto imponendo il passaggio per $A,B$ dovresti liberarti di qualche parametro.
E' solo un'idea.
Ciao mistake,
ti ringrazio molto per la tua risposta, sei un grande
Avevo pensato anche io a questa strada, ma non avevo fatto bene una cosa che tu invece hai sottolineato: bisognava prendere due punti generici sul piano.
Li ho chiamati $P=(0,a,b)$ e $Q=(c,0,d)$. Il punto di intersezione delle rette di cui tu parli nel tuo post esiste se $b=d$ (cioè se i centri giacciono su piani paralleli al piano $xy$) e tale punto risulta essere $C=(c,a,b)$. Non solo, posso mandare via un altro parametro: infatti, poichè sto cercando una sfera (e quindi il raggio è unico, ben determinato) deve essere $r=a=b$ (la distanza del centro dal piano $xz$ deve essere uguale alla distanza del centro dal piano $yz$ e il tutto è uguale al raggio).
In definitiva, ho che le sfere hanno equazione $(x-a)^2+(y-a)^2+(z-b)^2=a^2$. Imponendo il passaggio per $A$ e $B$ si finisce: si trova $a=4+-sqrt2$ e $b=0$.
Basta un grazie? Sei stato davvero un mito.
Grazie ancora.
ti ringrazio molto per la tua risposta, sei un grande
Avevo pensato anche io a questa strada, ma non avevo fatto bene una cosa che tu invece hai sottolineato: bisognava prendere due punti generici sul piano.
Li ho chiamati $P=(0,a,b)$ e $Q=(c,0,d)$. Il punto di intersezione delle rette di cui tu parli nel tuo post esiste se $b=d$ (cioè se i centri giacciono su piani paralleli al piano $xy$) e tale punto risulta essere $C=(c,a,b)$. Non solo, posso mandare via un altro parametro: infatti, poichè sto cercando una sfera (e quindi il raggio è unico, ben determinato) deve essere $r=a=b$ (la distanza del centro dal piano $xz$ deve essere uguale alla distanza del centro dal piano $yz$ e il tutto è uguale al raggio).
In definitiva, ho che le sfere hanno equazione $(x-a)^2+(y-a)^2+(z-b)^2=a^2$. Imponendo il passaggio per $A$ e $B$ si finisce: si trova $a=4+-sqrt2$ e $b=0$.
Basta un grazie?
Sei stato davvero un mito. Grazie ancora.
Perfetto, son contento di non averti fatto perdere tempo
Ma non sono un grande Comunque è stato un piacere!
Ma non sono un grande
Comunque è stato un piacere!
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