Sfere nello spazio
Salve a tutti! Ho qualche difficoltà con questo esercizio:
Dati i piani $ p: x-y=0 $ , $ p': x+2y-z+1=0 $ , la sfera $ sum: x^(2)+y^(2)+z^(2)-x+y-3z+1=0 $ , trovare la sfera $ sum1 $ avente il centro sul piano p e contenente la circonferenza $ C $ intersezione della sfera $ sum $ con $ p' $.
Io ho trovato
$ C: { ( x+2y-z+1=0 ),( x^(2)+y^(2)+z^(2)-x+y-3z+1=0 ):} $
Poi ho pensato che se $ sum1 $ deve avere centro in $ p $ posso metterli a sistema trovando la circonferenza ottenuta dalla loro intersezione. Quindi:
$ { ( x-y=0 ),( x^(2)+y^(2)+z^(2)-2ax-2by-2cz+d=0 ):} $ = $ { ( x=y ),( x^(2)+y^(2)+z^(2)-2a(x+y)-2cz+d=0 ):} $
A questo punto metto a sistema l'equazione trovata e $ C $:
$ { ( 2x^(2)+z^(2)-2x(a+b)-2cz+d=0 ), ({ ( x+2y-z+1=0 ),( x^(2)+y^(2)+z^(2)-x+y-3z+1=0 ):}) :} $
E adesso? Devo sostituire? Ma come? Per favore, aiutatemi
Dati i piani $ p: x-y=0 $ , $ p': x+2y-z+1=0 $ , la sfera $ sum: x^(2)+y^(2)+z^(2)-x+y-3z+1=0 $ , trovare la sfera $ sum1 $ avente il centro sul piano p e contenente la circonferenza $ C $ intersezione della sfera $ sum $ con $ p' $.
Io ho trovato
$ C: { ( x+2y-z+1=0 ),( x^(2)+y^(2)+z^(2)-x+y-3z+1=0 ):} $
Poi ho pensato che se $ sum1 $ deve avere centro in $ p $ posso metterli a sistema trovando la circonferenza ottenuta dalla loro intersezione. Quindi:
$ { ( x-y=0 ),( x^(2)+y^(2)+z^(2)-2ax-2by-2cz+d=0 ):} $ = $ { ( x=y ),( x^(2)+y^(2)+z^(2)-2a(x+y)-2cz+d=0 ):} $
A questo punto metto a sistema l'equazione trovata e $ C $:
$ { ( 2x^(2)+z^(2)-2x(a+b)-2cz+d=0 ), ({ ( x+2y-z+1=0 ),( x^(2)+y^(2)+z^(2)-x+y-3z+1=0 ):}) :} $
E adesso? Devo sostituire? Ma come? Per favore, aiutatemi
Risposte
Calcolata la circonferenza $C$, chiama $P$ il centro della circonferenza. Allora il centro della sfera $Sigma^1$ sarà il punto $Q$ intersezione del piano dato con la retta per $P$ ortogonale al piano della circonferenza.
No, aspetta, non ha capito bene. Allora, devo trovare il centro della circonferenza. Come si fa? E poi devo intersecare il piano con la retta passante per il centro della circonferenza e ortogonale a $ p' $. ho capito bene? Come si trova il centro della circonferenza?
Ok, ho trovato il centro della circonferenza in $ P=(1,1,sqrt(3)) $. Però non riesco a trovare la retta. Non so, ma mi viene sempre impossibile! Guarda:
$ r: { ( 1+l t ),( 1+mt ),( sqrt(3)+nt ):} $
r perpendicolare a p se e solo se (l,m,n)^(1,2,-1)=0
$ | ( i , j , k ),( l , m , n ),( 1 , 2 , -1 ) |=0 <=> (-m-2n)i-(-l-n)j+(2l-m)k=0 <=> { (-m-2n=0),(l+n=0),(2l-m=0):} <=> { ( m=-2n ),( l=-n ),( -2n+2n=0 ):} $
Come mai? Dove sbaglio?
$ r: { ( 1+l t ),( 1+mt ),( sqrt(3)+nt ):} $
r perpendicolare a p se e solo se (l,m,n)^(1,2,-1)=0
$ | ( i , j , k ),( l , m , n ),( 1 , 2 , -1 ) |=0 <=> (-m-2n)i-(-l-n)j+(2l-m)k=0 <=> { (-m-2n=0),(l+n=0),(2l-m=0):} <=> { ( m=-2n ),( l=-n ),( -2n+2n=0 ):} $
Come mai? Dove sbaglio?
Si è così.
Per determinare il centro, non ricordo se esiste una formula preconfezionata e se sì non la ricordo, però considerati due qualsiasi punti sulla circonferenza, il centro giace sulla retta perpendicolare al piano per il punto tangente alla circonferenza. Se prendi due qualsiasi punti della circonferenza puoi costruirti le due rette, intersecarle ed ottenere il centro!
Sto sforzando di ricordare se esiste una formula, ma proprio non ricordo. Comunque con un paio di costruzioni geometriche ci arrivi abbastanza agevolmente
Se hai problemi, chiedi pure
Per determinare il centro, non ricordo se esiste una formula preconfezionata e se sì non la ricordo, però considerati due qualsiasi punti sulla circonferenza, il centro giace sulla retta perpendicolare al piano per il punto tangente alla circonferenza. Se prendi due qualsiasi punti della circonferenza puoi costruirti le due rette, intersecarle ed ottenere il centro!
Sto sforzando di ricordare se esiste una formula, ma proprio non ricordo. Comunque con un paio di costruzioni geometriche ci arrivi abbastanza agevolmente
Se hai problemi, chiedi pure
se il piano ha equazione $ax+by+cz+d=0$ allora la retta ad esso perpendicolare avrà parametri di direzione $(a,b,c)$.
Pertanto la retta per $P$, ortogonale a $pi'$ ha equazione: $(x-1)/1=(y-1)/2=(z-sqrt(3))/(-1)$
Pertanto la retta per $P$, ortogonale a $pi'$ ha equazione: $(x-1)/1=(y-1)/2=(z-sqrt(3))/(-1)$
Ok, grazie mille
C'è anche il metodo del fascio di sfere.La sfera richiesta appartiene al fascio determinato dalla sfera data e dal piano p'.
L'equazione di questo fascio è allora:
$x^2+y^2+z^2-x+y-3z+1+k(x+2y-z+1)=0$ e cioé
$x^2+y^2+z^2+(k-1)x+(2k+1)y+(-k-3)z+(1+k)=0$
Il centro generico è $C((1-k)/2,(-2k-1)/2,(k+3)/2)$ ed imponendo l'appartenenza al piano p:
$1-k=-2k-1$ da cui $k=-2$ e sostituendo dentro l'equazione del fascio avrai la sfera che cerchi:
$x^2+y^2+z^2-3x-3y-z-1=0$
L'equazione di questo fascio è allora:
$x^2+y^2+z^2-x+y-3z+1+k(x+2y-z+1)=0$ e cioé
$x^2+y^2+z^2+(k-1)x+(2k+1)y+(-k-3)z+(1+k)=0$
Il centro generico è $C((1-k)/2,(-2k-1)/2,(k+3)/2)$ ed imponendo l'appartenenza al piano p:
$1-k=-2k-1$ da cui $k=-2$ e sostituendo dentro l'equazione del fascio avrai la sfera che cerchi:
$x^2+y^2+z^2-3x-3y-z-1=0$
Ancora una cosa: come trovo il punto di intersezione tra la retta e il piano? Non sono mai riuscita a capire come si fa...
Grazie mille, ziomauri. Sei stato chiarissimo
"Vegastar":
Ancora una cosa: come trovo il punto di intersezione tra la retta e il piano? Non sono mai riuscita a capire come si fa...
Basta mettere a sistema le due equazioni.
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