Sfere e insiemi chiusi

[el_pampa1]

Qualcuno da dimostrarmi che se una sfera è chiusa allora questo è un insieme chiuso? Grazie

[_Tipper]

Come definisci una sfera chiusa?

[Nebula2]

mmm... la sfera è la frontiera di una palla.... no?
o viceversa?

[_Tipper]

Non direi che la sfera è la frontiera di una palla... altrimenti l'espressione "calcolare il volume di una sfera" non avrebbe senso (o comunque ne avrebbe poco)...

[zorn1]

No, nebula, si dimostra che in dimensione 7 ciò non è vero!

[Studente Anonimo]

"el_pampa":Qualcuno da dimostrarmi che se una sfera è chiusa allora questo è un insieme chiuso? Grazie

Bisogna mostrare che una sfera chiusa S di centro C e raggio r è un chiuso (siamo in uno spazio metrico). Se un punto A sta fuori da S allora dista più di r da C, diciamo che dista $r+t_A$. Allora la palla aperta di centro A e raggio $t_A$ è disgiunta da S (ciò si vede utilizzando la disuguaglianza triangolare: se il punto D appartiene alla palla aperta $B(A,t_A)$ allora la sua distanza da A è $pr$). Ciò vale per ogni punto che non appartiene alla sfera. Dunque il complementare della sfera coincide con $\cup_{A \in S^c} B(A,t_A)$ ove $S^c$ è il complementare di S. Questo complementare è aperto in quanto unione di aperti. Quindi la sfera chiusa S è un chiuso.