Sfera tangente un piano in un punto, con centro sul piano yz
Salve, ho quest'esercizio:
"Fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico ortogonale, rappresentare la sfera tangente il piano \(\displaystyle α : x - y + z = 0 \) nel punto \(\displaystyle A ≡ (1,1,0) \) ed avente centro sul piano \(\displaystyle yz \), e determinare centro e raggio."
Dunque, il ragionamento è questo:
trovo una retta \(\displaystyle s \) perpendicolare al piano \(\displaystyle α \) e passante per il punto \(\displaystyle A \): tale retta conterrà sicuramente il centro della sfera.
Una volta trovato il centro, sarà facile trovare il raggio, calcolando la distanza tra il centro e il punto \(\displaystyle A \). Avendo centro e raggio, potrò ricavare l'equazione della sfera sostituendoli in \(\displaystyle S : (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 \).
La questione è: come faccio a trovare il centro della sfera? Se non ricordo male, il fatto che la sfera ha centro sul piano \(\displaystyle yz \) significa che il piano in questione ha equazione \(\displaystyle x = 0 \)...ma non so come continuare...
suggerimenti?
La retta \(\displaystyle s \) perpendicolare ad \(\displaystyle α \) e passante per \(\displaystyle A \) è la seguente:
\(\displaystyle v_α ≡ (1,-1,1) \), quindi possiamo prendere \(\displaystyle v_s ≡ (-1,1,-1) \). Quindi:
$\s : {(x = 1 - t ),(y = 1 + t),(z = -t):}$
Come posso continuare?
"Fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico ortogonale, rappresentare la sfera tangente il piano \(\displaystyle α : x - y + z = 0 \) nel punto \(\displaystyle A ≡ (1,1,0) \) ed avente centro sul piano \(\displaystyle yz \), e determinare centro e raggio."
Dunque, il ragionamento è questo:
trovo una retta \(\displaystyle s \) perpendicolare al piano \(\displaystyle α \) e passante per il punto \(\displaystyle A \): tale retta conterrà sicuramente il centro della sfera.
Una volta trovato il centro, sarà facile trovare il raggio, calcolando la distanza tra il centro e il punto \(\displaystyle A \). Avendo centro e raggio, potrò ricavare l'equazione della sfera sostituendoli in \(\displaystyle S : (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 \).
La questione è: come faccio a trovare il centro della sfera? Se non ricordo male, il fatto che la sfera ha centro sul piano \(\displaystyle yz \) significa che il piano in questione ha equazione \(\displaystyle x = 0 \)...ma non so come continuare...
suggerimenti?La retta \(\displaystyle s \) perpendicolare ad \(\displaystyle α \) e passante per \(\displaystyle A \) è la seguente:
\(\displaystyle v_α ≡ (1,-1,1) \), quindi possiamo prendere \(\displaystyle v_s ≡ (-1,1,-1) \). Quindi:
$\s : {(x = 1 - t ),(y = 1 + t),(z = -t):}$
Come posso continuare?
Risposte
"TeM":
Sinceramente non ho controllato i tuoi conti ma se hai determinato correttamente la retta \(s\) passante per \(A\) e perpendicolare al piano \(\alpha\), dato che quest'ultimo è tangente alla sfera di equazione ignota, allora il proprio centro
\(C\) dovrà appartenere anch'esso ad \(s\) e dato che sappiamo \( C \in \{ y,z \} \) ovvero \( x_C = 0 \) ...
Si, a questo ci ero arrivato, ma non so come proseguire...
Quindi...
$\s : {(0 = 1 - t ),(y = 1 + t),(z = -t):}$, $\s : {(t = 1),(y = 2),(z = -1):}$ ?
E quindi \(\displaystyle y_C = 2 \) e \(\displaystyle z_C = -1 \) ?
$\s : {(0 = 1 - t ),(y = 1 + t),(z = -t):}$, $\s : {(t = 1),(y = 2),(z = -1):}$ ?
E quindi \(\displaystyle y_C = 2 \) e \(\displaystyle z_C = -1 \) ?
Perfetto, grazie mille! 
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