Sfera tangente
ciao a tutti!
apro questo topic per esprimervi un dubbio!
devo determinare l'equazione della sfera S passante per Q (2,-2,3) e tangente un piano A: x-y+z-1=0 nel punto P(1,1,1).
trovo la retta r passante per P e perpendicolare al piano A. in forma parametrica:
x= 1+t
y= 1-t
z= 1 + 1
trovo la retta s passante per P e per Q:
x = 1+t
y = 1-3t
z= 1+2
i suoi paramentri direttori sono 1, -3 e 2.
trovo il punto medio tra P e Q: M (3/2, -1/2, 2)
ora sarebbe logico determinare una retta t perpendicolare a s (retta per P e Q) per poi intersecarla con la retta r (perpendicolare al piano A) determinando così il centro della circonferenza.
ebbene.. la condizione di perpendicolarità tra rette nello spazio è che ll' + mm' + nn' = 0
dunque 1l' -3m' + 2n' = 0
ma di rette t perpendicolari a s nello spazio ce ne sono infinte! e a me serve quella passante per il centro. anche volendo prendere dei parametri l', m', n' che soddisfino la condizione di perpendicolarità fra rette (ad esempio 1, 1, 1 oppure -8, -2, 1) dovrei essere abbastanza fortunato nel trovare la terna di parametri tale per cui il sistema tra la retta s e la retta t ammetta delle soluzioni x, y e z in comune (cioè le coordinate del centro).
c'è qualcosa che mi sfugge, oppure il ragionamento (che non fa una piega e va benissimo in geometria piana) non è quello appropriato per risolvere questo problema nello spazio?
grazie mille in anticipo!
apro questo topic per esprimervi un dubbio!
devo determinare l'equazione della sfera S passante per Q (2,-2,3) e tangente un piano A: x-y+z-1=0 nel punto P(1,1,1).
trovo la retta r passante per P e perpendicolare al piano A. in forma parametrica:
x= 1+t
y= 1-t
z= 1 + 1
trovo la retta s passante per P e per Q:
x = 1+t
y = 1-3t
z= 1+2
i suoi paramentri direttori sono 1, -3 e 2.
trovo il punto medio tra P e Q: M (3/2, -1/2, 2)
ora sarebbe logico determinare una retta t perpendicolare a s (retta per P e Q) per poi intersecarla con la retta r (perpendicolare al piano A) determinando così il centro della circonferenza.
ebbene.. la condizione di perpendicolarità tra rette nello spazio è che ll' + mm' + nn' = 0
dunque 1l' -3m' + 2n' = 0
ma di rette t perpendicolari a s nello spazio ce ne sono infinte! e a me serve quella passante per il centro. anche volendo prendere dei parametri l', m', n' che soddisfino la condizione di perpendicolarità fra rette (ad esempio 1, 1, 1 oppure -8, -2, 1) dovrei essere abbastanza fortunato nel trovare la terna di parametri tale per cui il sistema tra la retta s e la retta t ammetta delle soluzioni x, y e z in comune (cioè le coordinate del centro).
c'è qualcosa che mi sfugge, oppure il ragionamento (che non fa una piega e va benissimo in geometria piana) non è quello appropriato per risolvere questo problema nello spazio?
grazie mille in anticipo!
Risposte
"Echelon":
determinare l'equazione della sfera S passante per Q (2,-2,3) e tangente un piano A: x-y+z-1=0 nel punto P(1,1,1).
L'esercizio può essere risolto in modo MOLTO semplice considerando il fascio
generato dalla sfere degenere in $P$ e dal piano:
$(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 + lambda (x - y + z - 1) = 0$$
a questo punto basta sostituire le coordinate di $Q$ e trovare il parametro $lambda$:
$(2-1)^2 + (-2-1)^2 + (3-1)^2 + lambda (2 - (-2) + 3 - 1) = 0$
da cui
$lambda = -7/3$
la sfera ha pertanto equazione
$x^2 + y^2 + z^2 - 13/3 x + 1/3 y - 13/3 z + 16/3 = 0$
ti ringrazio mi hai risolto un problema amletico! solo una piccola delucidazione: come uso il parametro lambda per determinare l'equazione della sfera?
Non ho capito che cosa non hai capito..
una volta ricavato lambda = -7/3, con quale procedimento ricavo l'equazione della sfera?
Basta sostituire il valore trovato nell'equazione del fascio.
perfetto! nn so come ringraziarti! era da tempo che sbattevo con questo problema! GRAZIE MILLE ANCORA!
Prego!
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