Sfera in coordinate sferiche e piano tangente.
Probabilmente sto prendendo qualche abbaglio ma, non riesco a venirne fuori.
Voglio calcolare il piano tg in P0 = (0, 0, r) ad una sfera centrata nell'origine e di raggio r.
Usando la formula generale per le superficie regolari, non ho alcun problema se la sfera è espressa come equazione implicita f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - r^2 = 0 o come equazione esplicita z = sqrt(r^2 - x^2 - y^2); in entrambi i casi ottengo, ovviamente, z = r.
Se però uso le coordinate sferiche (u = colatitudine, v = longitudine):
x = r * sin(u) * cos(v)
y = r * sin(u) * sin(v)
z = r * cos(u)
ottengo l'identità 0 = 0.
Il punto P0 = (0, 0, r) dovrebbe corrispondere a raggio vettore = r, u = 0 e v indeterminato.
Ma per u = 0, le derivate parziali di x, y e z rispetto a v si annullano tutte; quindi, la relativa matrice mi dà 0 = 0.
Questa situazione sembra verificarsi solo quando il punto P0 si trova sull'asse z; in caso contrario, ottengo il risultato atteso.
Dove sto sbagliando?
Voglio calcolare il piano tg in P0 = (0, 0, r) ad una sfera centrata nell'origine e di raggio r.
Usando la formula generale per le superficie regolari, non ho alcun problema se la sfera è espressa come equazione implicita f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - r^2 = 0 o come equazione esplicita z = sqrt(r^2 - x^2 - y^2); in entrambi i casi ottengo, ovviamente, z = r.
Se però uso le coordinate sferiche (u = colatitudine, v = longitudine):
x = r * sin(u) * cos(v)
y = r * sin(u) * sin(v)
z = r * cos(u)
ottengo l'identità 0 = 0.
Il punto P0 = (0, 0, r) dovrebbe corrispondere a raggio vettore = r, u = 0 e v indeterminato.
Ma per u = 0, le derivate parziali di x, y e z rispetto a v si annullano tutte; quindi, la relativa matrice mi dà 0 = 0.
Questa situazione sembra verificarsi solo quando il punto P0 si trova sull'asse z; in caso contrario, ottengo il risultato atteso.
Dove sto sbagliando?
Risposte
Ciao. E' tardi, per cui non sono riuscito a leggere bene tutto cio che hai scritto 
Se ti serve il piano (chiamiamolo $\pi$) tangente in $P_0(0,0,r)$ puoi fare queste considerazioni:
• $\pi$ passa per $P_0$;
• il vettore $\mathbf{OP}_0=(0,0,r)$ è un vettore normale al piano.
A questo punto dovrebbe essere semplice. Spero di aver colto il problema ciao
Giuseppe
Se ti serve il piano (chiamiamolo $\pi$) tangente in $P_0(0,0,r)$ puoi fare queste considerazioni:
• $\pi$ passa per $P_0$;
• il vettore $\mathbf{OP}_0=(0,0,r)$ è un vettore normale al piano.
A questo punto dovrebbe essere semplice. Spero di aver colto il problema
ciaoGiuseppe
Si, quello è il metodo più semplice; io però volevo usare il metodo generale.
Se la sfera è espressa in forma parametrica regolare:
\(\displaystyle x = x(u, v) \)
\(\displaystyle y = y(u, v) \)
\(\displaystyle z = z(u, v) \)
allora la tg in \(\displaystyle P_0 = (x_0, y_0, z_0) \) è data dal determinante, eguagliato a zero, della matrice:
\(\displaystyle \left(\matrix{{x - x_0}&{y - y_0}&{z - z_0}\\{x_u(u_0, v_0)}&{y_u(u_0, v_0)}&{z_u(u_0, v_0)}\\{x_v(u_0, v_0)}&{y_v(u_0, v_0)}&{z_v(u_0, v_0)}}\right) \)
Usando, ad esempio, le coordinate sferiche:
\(\displaystyle x = r * sin(u) * cos(v) \)
\(\displaystyle y = r * sin(u) * sin(v) \)
\(\displaystyle z = r * cos(u) \)
in \(\displaystyle P_0 = (0, 0, r) \) salta fuori \(\displaystyle 0 = 0 \) anziché \(\displaystyle z = r \).
Se la sfera è espressa in forma parametrica regolare:
\(\displaystyle x = x(u, v) \)
\(\displaystyle y = y(u, v) \)
\(\displaystyle z = z(u, v) \)
allora la tg in \(\displaystyle P_0 = (x_0, y_0, z_0) \) è data dal determinante, eguagliato a zero, della matrice:
\(\displaystyle \left(\matrix{{x - x_0}&{y - y_0}&{z - z_0}\\{x_u(u_0, v_0)}&{y_u(u_0, v_0)}&{z_u(u_0, v_0)}\\{x_v(u_0, v_0)}&{y_v(u_0, v_0)}&{z_v(u_0, v_0)}}\right) \)
Usando, ad esempio, le coordinate sferiche:
\(\displaystyle x = r * sin(u) * cos(v) \)
\(\displaystyle y = r * sin(u) * sin(v) \)
\(\displaystyle z = r * cos(u) \)
in \(\displaystyle P_0 = (0, 0, r) \) salta fuori \(\displaystyle 0 = 0 \) anziché \(\displaystyle z = r \).
Non è che hai commesso qualche errore nel determinare $u$ e $v$ in $P_0$?
Infatti, quella parametrizzazione ha dei problemi in quel punto. Se proprio ci tieni, puoi utilizzare quest'altra:
$\{(x=rcostheta),(y=rcosphisentheta),(z=rsenphisentheta):}$
Non sono le classiche coordinate sferiche ma poco importa.
$\{(x=rcostheta),(y=rcosphisentheta),(z=rsenphisentheta):}$
Non sono le classiche coordinate sferiche ma poco importa.
"speculor":
Infatti, quella parametrizzazione ha dei problemi in quel punto.
Ecco. Era proprio ciò che sospettavo!
In qualunque altro punto, quella parametrizzazione fornisce il risultato atteso; nei punti di intersezione tra la sfera e l'asse z, si ottiene \(\displaystyle 0 = 0 \).
Per quanto riguarda la domanda di Plepp, il punto \(\displaystyle P_0 = (0, 0, r) \) in coordinate cartesiane equivale in coordinate sferiche a:
raggio vettore = r
colatitudine u = 0
longitudine v indeterminata (qualunque valore compreso tra 0 e \(\displaystyle 2\Pi \)).
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