Sfera di Riemann, TLF, proiettività
Nei giorni scorsi abbiamo osservato che le traformazioni lineari fratte (TLF) e le proiettività possono essere, sotto certe ipotesi, la stessa cosa. Mi pare che sia questo il caso di $CC$: infatti se abbiamo una $f(z)=(az+b)/(cz+d)$ con $det((a, b), (c, d))!=0$, si capisce che questa è (la restrizione di) una proiettività di $\mathbb{P}^1(CC)$.
D'altro canto $\mathbb{P}^1(CC)=CCuu{infty}$ viene spesso chiamato sfera di Riemann proprio perché corrisponde biunivocamente ad una sfera per proiezione stereografica:
Allora mi chiedevo: è possibile visualizzare tutte o almeno alcune TLF/proiettività attraverso questo modello geometrico?
Ad esempio, mi pare che $f(z)=1/z$ si possa ottenere ruotando la sfera in modo da portare il punto $S$ sul punto $N$. Questo spiegherebbe il comportamento di $1/z$ su rette e circonferenze: le rette passanti per l'origine (che corrispondono a meridiani della sfera) restano rette passanti per l'origine, mentre le altre (che corrispondono a circonferenze sulla sfera passanti per il polo $N$ ma non per il polo $S$) diventano circonferenze e così via.
Mi sbaglio? Se è vero, come si può dimostrare formalmente? La rotazione della sfera è una trasformazione di $RR^3$ in sé, che c'azzecca con $\mathbb{P}^1(CC)$?
D'altro canto $\mathbb{P}^1(CC)=CCuu{infty}$ viene spesso chiamato sfera di Riemann proprio perché corrisponde biunivocamente ad una sfera per proiezione stereografica:
Allora mi chiedevo: è possibile visualizzare tutte o almeno alcune TLF/proiettività attraverso questo modello geometrico?
Ad esempio, mi pare che $f(z)=1/z$ si possa ottenere ruotando la sfera in modo da portare il punto $S$ sul punto $N$. Questo spiegherebbe il comportamento di $1/z$ su rette e circonferenze: le rette passanti per l'origine (che corrispondono a meridiani della sfera) restano rette passanti per l'origine, mentre le altre (che corrispondono a circonferenze sulla sfera passanti per il polo $N$ ma non per il polo $S$) diventano circonferenze e così via.
Mi sbaglio? Se è vero, come si può dimostrare formalmente? La rotazione della sfera è una trasformazione di $RR^3$ in sé, che c'azzecca con $\mathbb{P}^1(CC)$?
Risposte
Quello delle TLF mi pare si chiami anche gruppo di Möbius ed è, in effetti, il gruppo degli automorfismi di $S^2$ come varietà riemanniana.
Altre informazioni le trovi qui e qui.
Dal fatto che $\mathbb{P}^1(CC) ~= S^2$ dovrebbero derivare i legami del gruppo di Möbius con le proiettività, ma non ho mai approfondito la cosa.
Altre informazioni le trovi qui e qui.
Dal fatto che $\mathbb{P}^1(CC) ~= S^2$ dovrebbero derivare i legami del gruppo di Möbius con le proiettività, ma non ho mai approfondito la cosa.
(ho solo visto di sfuggita senza leggere con troppa attenzione questa parte, però so che c'è 
) se ti capita di sfogliare il libro "elementi di geometria analitica" di Nacinovich dovresti riuscire a chiarire i tuoi dubbi.
) se ti capita di sfogliare il libro "elementi di geometria analitica" di Nacinovich dovresti riuscire a chiarire i tuoi dubbi.
Seguendo i link forniti da Gugo sono approdato a questo magnifico video:
http://www.ima.umn.edu/~arnold/moebius/
che illustra visivamente la questione. Sempre allo stesso link c'è un articolo dagli autori contenente le dimostrazioni formali di quanto illustrato nel video.
[OT] Sempre grazie a questo articolo ho scoperto un libro di analisi complessa, Visual Complex Analysis di Needham. Oggi l'ho scartabellato un po', candidandolo ad uno dei miei favoriti.[/OT]
http://www.ima.umn.edu/~arnold/moebius/
che illustra visivamente la questione. Sempre allo stesso link c'è un articolo dagli autori contenente le dimostrazioni formali di quanto illustrato nel video.
[OT] Sempre grazie a questo articolo ho scoperto un libro di analisi complessa, Visual Complex Analysis di Needham. Oggi l'ho scartabellato un po', candidandolo ad uno dei miei favoriti.[/OT]
Dovresti trovare parecchio di quel che cerchi qui
(ops, il video era lo stesso)
e
http://www.math.unipd.it/%7Ecandiler/di ... plessi.pdf
(ops, il video era lo stesso)
e
http://www.math.unipd.it/%7Ecandiler/di ... plessi.pdf
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo