?Sfera?
Buongiorno,
vorrei chiedere un chiarimento su una nota che ho lasciato a margine di alcuni appunti di una frase detta in modo rapido dal prof (perché non era argomento di analisi) e da ingegnere non ho un esame di geometria su questi concetti; quindi vorrei chiedere un chiarimento per mia curiosità a voi matematici. Da stupido ing. vorrei capire
In sostanza il Prof ha detto circa "la sfera (intesa come superficie non la palla piena) è chiusa e limitata e quindi per Heine Borel, compatta" si parlava di R3
Io però ci ho ragionato un po e non capisco per due motivi:
- un insieme (in tal caso la sfera S2) è tale se contiene tutti i punti limite delle sue successioni.
- un chiuso è il complementare dell'aperto nel senso che ogni punto dentro quell insieme S2 ha un intorno interamente contenuto in quell'insieme
Se analizzo questi due punti:
- non riesco bene a capire come vedere che ogni successione dentro S2 abbia limite contenuto in S2, anche perché come faccio a far "curvare" la serie prescelta dentro la sfera (la superficie non è lineare per capirci ma curca) quindi non so farlo.
- se ora prendo la topologia sulla sfera e immagino un punto sulla sfera a me pare che posso sempre trovare un intorno della topologia sulla sfera interamente contenuto in S2, immagino tale topologia come "flat" nel senso che sono degli intorni (che chiamo aperti) tipo dischi curvi e quindi piatti. Formalmente: se prendo una palla di R3 centrata in un punto p sulla sfera, immagino questo intorno della topologia come l interesezione della palla con S2 e questo mi da un disco che "segue la curva" ebbene ogni punto ha intorni contenuti nella sfera quindi a me pare un aperto più che un chiuso e ciò manda in fumo heine borel (quindi evidentemente non ci ho azzeccato). Ma dove sbaglio?
Mi interessano molto questi due punti.
grazie per eventuali aiuti da parte vostra
vorrei chiedere un chiarimento su una nota che ho lasciato a margine di alcuni appunti di una frase detta in modo rapido dal prof (perché non era argomento di analisi) e da ingegnere non ho un esame di geometria su questi concetti; quindi vorrei chiedere un chiarimento per mia curiosità a voi matematici. Da stupido ing. vorrei capire
In sostanza il Prof ha detto circa "la sfera (intesa come superficie non la palla piena) è chiusa e limitata e quindi per Heine Borel, compatta" si parlava di R3
Io però ci ho ragionato un po e non capisco per due motivi:
- un insieme (in tal caso la sfera S2) è tale se contiene tutti i punti limite delle sue successioni.
- un chiuso è il complementare dell'aperto nel senso che ogni punto dentro quell insieme S2 ha un intorno interamente contenuto in quell'insieme
Se analizzo questi due punti:
- non riesco bene a capire come vedere che ogni successione dentro S2 abbia limite contenuto in S2, anche perché come faccio a far "curvare" la serie prescelta dentro la sfera (la superficie non è lineare per capirci ma curca) quindi non so farlo.
- se ora prendo la topologia sulla sfera e immagino un punto sulla sfera a me pare che posso sempre trovare un intorno della topologia sulla sfera interamente contenuto in S2, immagino tale topologia come "flat" nel senso che sono degli intorni (che chiamo aperti) tipo dischi curvi e quindi piatti. Formalmente: se prendo una palla di R3 centrata in un punto p sulla sfera, immagino questo intorno della topologia come l interesezione della palla con S2 e questo mi da un disco che "segue la curva" ebbene ogni punto ha intorni contenuti nella sfera quindi a me pare un aperto più che un chiuso e ciò manda in fumo heine borel (quindi evidentemente non ci ho azzeccato). Ma dove sbaglio?
Mi interessano molto questi due punti.
grazie per eventuali aiuti da parte vostra
Risposte
Per il primo punto, se hai che $x_n^2+y_n^2=1AAn$, allora posto $(x,y)=\lim_(n\to\+infty)(x_n,y_n)$, si ha che $x^2+y^2=(\lim_(n\to\+infty)x_n)^2+(\lim_(n\to\+infty)y_n)^2=\lim_(n\to\+infty)(x_n^2+y_n^2)=\lim_(n\to\+infty)1=1$, quindi anche il limite appartiene alla sfera.
Per il secondo punto, quando consideri le intersezioni degli aperti con l'insieme, stai ottenendo gli aperti di quel sottospazio, cioè quelli che sono gli insiemi aperti nel caso in cui si consideri l'insieme come spazio, ma in quel discordo non stava facendo questo procedimento e stava considerando come spazio tutto $RR^3$, quindi gli aperti sono le palle non intersecate, di cui nessuna chiaramente è inclusa nella sfera.
Per il secondo punto, quando consideri le intersezioni degli aperti con l'insieme, stai ottenendo gli aperti di quel sottospazio, cioè quelli che sono gli insiemi aperti nel caso in cui si consideri l'insieme come spazio, ma in quel discordo non stava facendo questo procedimento e stava considerando come spazio tutto $RR^3$, quindi gli aperti sono le palle non intersecate, di cui nessuna chiaramente è inclusa nella sfera.
"otta96":ok qui se h oben capito hai preso i punti sulla circonferenza equatoriale e hai detto giustamente, standoci sopra risolvono l'equazione della circonferenza e quindi anche la somma dei quadrati dei limiti la risolvono.
Per il primo punto, se hai che $x_n^2+y_n^2=1AAn$, allora posto $(x,y)=\lim_(n\to\+infty)(x_n,y_n)$, si ha che $x^2+y^2=(\lim_(n\to\+infty)x_n)^2+(\lim_(n\to\+infty)y_n)^2=\lim_(n\to\+infty)(x_n^2+y_n^2)=\lim_(n\to\+infty)1=1$, quindi anche il limite appartiene alla sfera.
Ovviamente il ragionamento di puo estendere a qualsiasi serie (perché la richiesta sarebbe tutte quelle che convergono hanno punto di convergenza interno all'insieme), pero basta prendere in tal caso $x_n^2+y_n^2+z_n^2=1$ e siamo a posto giusto? Spero di aver capito bene[/quote]
"otta96":qui nel frattempo avevo pensato a una cosa: se prendo il complementare della superficie sferica, ossia tutto R3 meno i punti della sfera, noto che è un aperto trovando sempre putni all'interno che contengono delle palle aperte, quindi il complementare (che è la sfera) è chiuso. Potrebbe andare?
Per il secondo punto, quando consideri le intersezioni degli aperti con l'insieme, stai ottenendo gli aperti di quel sottospazio, cioè quelli che sono gli insiemi aperti nel caso in cui si consideri l'insieme come spazio, ma in quel discordo non stava facendo questo procedimento e stava considerando come spazio tutto $RR^3$, quindi gli aperti sono le palle non intersecate, di cui nessuna chiaramente è inclusa nella sfera.
[ot]Ho fatto un pasticcio e ho perso la psw, scusate ma siccome ci tenevo a rispondere mi sono ri-registrato
.[/ot]
Ho sbagliato a scrivere solo con $x$ e $y$, chiaramente ci voleva anche $z$, ma hai capito lo stesso vedo, meno male.
Se devi dimostrare che la sfera è chiusa senz'altro un modo è quello che hai detto però l'hai scritto un po' male, infatti nessun punto contiene delle palle aperte, quello che si può dire è che per ogni punto che non sta nella sfera (sia "fuori" che "dentro") esiste una palla aperta centrata in quel punto che non interseca la sfera.
Se devi dimostrare che la sfera è chiusa senz'altro un modo è quello che hai detto però l'hai scritto un po' male, infatti nessun punto contiene delle palle aperte, quello che si può dire è che per ogni punto che non sta nella sfera (sia "fuori" che "dentro") esiste una palla aperta centrata in quel punto che non interseca la sfera.
Perfetto, grazie mille.
Per quanto riguarda le palle aperte non so che strafalcione ho detto ma hai capito XD, intendevo proprio "quello che si può dire è che per ogni punto che non sta nella sfera (sia "fuori" che "dentro") esiste una palla aperta centrata in quel punto che non interseca la sfera." ma alla veloce ho scritto una schifezza.
Molto gentile, finalmente ho capito! Era una cosa che mi era rimasta sullo stomaco non capire.
Per quanto riguarda le palle aperte non so che strafalcione ho detto ma hai capito XD, intendevo proprio "quello che si può dire è che per ogni punto che non sta nella sfera (sia "fuori" che "dentro") esiste una palla aperta centrata in quel punto che non interseca la sfera." ma alla veloce ho scritto una schifezza.
Molto gentile, finalmente ho capito! Era una cosa che mi era rimasta sullo stomaco non capire.
Bene!
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