Sezione di area massima di un cubo
Salve a tutti.
Vorrei sapere come si può dimostrare che la sezione massima di un cubo è data dall'esagono con i verti disposti sui punti medi di 6 dei suoi spigoli adiacenti ed ortogonale ad una diagonale.
Ho tentato di trovare su internet delle dimostrazioni, ma niente! Ho trovato solo che è quella la sezione massima. Cosicchè mi sono messo a pensare ad una possibile dimostrazione.
Sono restio a fare lunghi calcoli e risolvere sistemi non lineari molto grossi. Perciò un idea ingenua, che è quella di usare la "forza bruta" e prendere la stella di piani per il centro del cubo, intersecarli con il cubo e calcolarne l'area al variare dei piani, e calcolare così il massimo individuando sul cubo la figura delimita tale area, mi sembra computazionalmente impraticabile (senza contare che dovrei fare una assunzione non banale, che è quella che il piano che genera la sezione massima debba passare dal centro del cubo).
Stavo pensando che potrebbe comunque essere utile, nel tentativo di dimostrazione, dimostrare come lemma che la sezione di area massima debba passare dal centro (credo di aver intuito che è così che funziona...).
Voi che ne pnsate?
Ad ogni modo mi farebbe piacere se qualcuno mi desse anche solo qualche idea ma soprattutto mi consigliasse del materiale serio su cui certe cose si possono trovare.
Grazie
Vorrei sapere come si può dimostrare che la sezione massima di un cubo è data dall'esagono con i verti disposti sui punti medi di 6 dei suoi spigoli adiacenti ed ortogonale ad una diagonale.
Ho tentato di trovare su internet delle dimostrazioni, ma niente! Ho trovato solo che è quella la sezione massima. Cosicchè mi sono messo a pensare ad una possibile dimostrazione.
Sono restio a fare lunghi calcoli e risolvere sistemi non lineari molto grossi. Perciò un idea ingenua, che è quella di usare la "forza bruta" e prendere la stella di piani per il centro del cubo, intersecarli con il cubo e calcolarne l'area al variare dei piani, e calcolare così il massimo individuando sul cubo la figura delimita tale area, mi sembra computazionalmente impraticabile (senza contare che dovrei fare una assunzione non banale, che è quella che il piano che genera la sezione massima debba passare dal centro del cubo).
Stavo pensando che potrebbe comunque essere utile, nel tentativo di dimostrazione, dimostrare come lemma che la sezione di area massima debba passare dal centro (credo di aver intuito che è così che funziona...).
Voi che ne pnsate?
Ad ogni modo mi farebbe piacere se qualcuno mi desse anche solo qualche idea ma soprattutto mi consigliasse del materiale serio su cui certe cose si possono trovare.
Grazie
Risposte
Non ci ho pensato molto al problema, ma per dimostrare che questo piano deve passare per il centro del cubo potresti fissare una qualche direzione e considerare tutti i piani che hanno come vettore normale la direzione considerata. A questo punto fai variare la distanza tra il piano e il centro del cubo e analizzi in che modo varia l'area della tua sezione. Credo che sia possibile fare alcune semplificazioni e assunzioni usando le simmetrie del cubo.
Errata Corrige:
E' falso! Perchè ho sbagliato i conti! Lo conferma http://mathworld.wolfram.com/Cube.html in un pezzo dove parla delle sezioni del cubo.
Tuttavia resta comunque la domanda. Si possono azzardare ipotesi circa le sezioni di area massima ed eventualmente quale essa sia senza utilizzare la geometria analitica ma solo considerazioni di tipo sintetico?
Se proprio non si potesse solo con la geometria sintetica, ci sarebbe modo di dimostrare (costruttivamente) senza esaurirsi di conti che uno certo poligono (o poligoni) sia quello di area massima?
Si tenga conto che io questi ragionamenti vorrei generalizzarli al caso di un prisma (non necessariamente retto), perciò ha senso congetturare (e magari sforzarsi di dimostrare) che almeno una sezione di area massima passi per il baricentro?
Se non sapete rispondermi o non ne avete voglia indicatemi almeno una fonte dove poter approfondire questa questione per favore.
Grazie.
"Isaac888":.
la sezione massima di un cubo è data dall'esagono con i verti disposti sui punti medi di 6 dei suoi spigoli adiacenti ed ortogonale ad una diagonale
E' falso! Perchè ho sbagliato i conti! Lo conferma http://mathworld.wolfram.com/Cube.html in un pezzo dove parla delle sezioni del cubo.
Tuttavia resta comunque la domanda. Si possono azzardare ipotesi circa le sezioni di area massima ed eventualmente quale essa sia senza utilizzare la geometria analitica ma solo considerazioni di tipo sintetico?
Se proprio non si potesse solo con la geometria sintetica, ci sarebbe modo di dimostrare (costruttivamente) senza esaurirsi di conti che uno certo poligono (o poligoni) sia quello di area massima?
Si tenga conto che io questi ragionamenti vorrei generalizzarli al caso di un prisma (non necessariamente retto), perciò ha senso congetturare (e magari sforzarsi di dimostrare) che almeno una sezione di area massima passi per il baricentro?
Se non sapete rispondermi o non ne avete voglia indicatemi almeno una fonte dove poter approfondire questa questione per favore.
Grazie.
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