Semplificazione matrice e affini

[g.i.o115]

Buondì, ho provato a svolgere questo esercizio solo che ho incontrato dei problemi...qualcuno saprebbe darmi una mano perchè già dai primi passi mi trovo in difficoltà

{{1,1,1,-k,k},
{k+1,0,3,0,3},
{1,-1,2k,1,k+1}
,{1,k,1,-1,1}}


la richiesta dell'es è:
quando il sistema ammette infinite soluzioni ∑ si esprima l'insieme ∑ nella forma ∑=Xo+∑o, essendo ∑0 lo spazio delle soluzioni del sist associato.Infine considerando R4 come spazio euclideo con prodotto scalare canonico; determinare il complemeto ortogonale ∑o ortogonale.

Il primo problema riguarda il fatto che non triesco a semplificare la matice in modo tale da avere almeno una riga e una colonna di zeri...qualcuno può dare qualche dritta? grazie
p.s. colonna 1=x, col2=y, col3=z, col4=w, col5 = termine noto.

[ciampax]

Perché usi la riduzione di Gauss? Io userei Cramer e i determinanti, visto che hai un sistema di quattro equazioni in quattro incognite. Le condizioni su $k$ da imporre affinché si abbiano infinite soluzioni sono più immediate.

Infatti, basta calcolare il determinante della matrice dei coefficienti del sistema e porlo uguale a zero: i valori di $k$ che risultano sono quelli incriminati. Fatto questo, basta sostituire di volta in volta $k$ all'interno del sistema e risolvere ciascuno di essi per capire quali hanno infinite soluzioni e quali sono incompatibili.