Semplificazione in un sistema lineare
Buongiorno a tutti.
Tra una lacrima versata e l'altra, in preparazione del mio esame di matematica, mi è capitato questo sistema lineare
$[[1,1,-2],[-1,1,-1],[-2,0,1]]$ $[[x1],[x2],[x3]]$ = $[[2],[0],[-2]]$
So che se esiste una riga che è una combinazione lineare delle altre (tipo ne è la somma) posso tirare una riga ed eliminarla dal calcolo.
Brancolando nel buio, sono andato a vedere la risoluzione, e in pratica viene eliminata la prima riga, cioè [1,1,-2].
Non riesco a capire in base a quale ragionamento la elimina. Attendo che qualche anima pia mi illumini, e ringrazio in anticipo
Tra una lacrima versata e l'altra, in preparazione del mio esame di matematica, mi è capitato questo sistema lineare
$[[1,1,-2],[-1,1,-1],[-2,0,1]]$ $[[x1],[x2],[x3]]$ = $[[2],[0],[-2]]$
So che se esiste una riga che è una combinazione lineare delle altre (tipo ne è la somma) posso tirare una riga ed eliminarla dal calcolo.
Brancolando nel buio, sono andato a vedere la risoluzione, e in pratica viene eliminata la prima riga, cioè [1,1,-2].
Non riesco a capire in base a quale ragionamento la elimina. Attendo che qualche anima pia mi illumini, e ringrazio in anticipo
Risposte
Somma la seconda riga alla terza moltiplicata per $-1$.
Prima e seconda riga sono linearmente indipendenti
Il determinante della matrice dei coefficienti vale $0 $ e quindi la matrice non ha rango $3$ , le righe non sono linearmente indipendenti.
Cerco allora il minore di rango massimo con determinante $ne 0 $ , ad es. $((-1,1),(-2,0))$ il che mi porta a eliminare la prima riga .
Ma potrei anche considerare il minore $((1,1),(-1,1))$ che mi porta a cancellare la terza riga .
Devi cercare la sottomatrice di rango massimo : questa avrà righe e colonne lineramente indipendenti , le altrte righe ( o colonne ) non danno valore aggiunto essendo una combinazione lineare delle precedenti e possono essere opportunamente eliminate .
Cerco allora il minore di rango massimo con determinante $ne 0 $ , ad es. $((-1,1),(-2,0))$ il che mi porta a eliminare la prima riga .
Ma potrei anche considerare il minore $((1,1),(-1,1))$ che mi porta a cancellare la terza riga .
Devi cercare la sottomatrice di rango massimo : questa avrà righe e colonne lineramente indipendenti , le altrte righe ( o colonne ) non danno valore aggiunto essendo una combinazione lineare delle precedenti e possono essere opportunamente eliminate .
grazie a tutti per le risposte!
Proseguendo con lo stesso esercizio è emerso un altro dubbio. Dopo aver eliminato la seconda riga, il sistema risulta:
$((-1,1,-1),(-2,0,1))$ $((x1),(x2),(x3))$ = $((0),(-2))$
Giunto a questo punto, mi è stato detto a lezione senza troppe spiegazioni che bisogna operare una "partizione". In questo caso, leggendo la soluzione fa
$((1,-1),(0,1))$ $((x1),(x2))$ = $((0),(-2))$ - $((-1),(-2))*$$x_3$
Che poi, sviluppato, si risolve come un sistema di Cramer. Quello che non riesco a capire è in base a quale criterio (di nuovo..) si sceglie cosa partizionare. Ho provato, infatti, a risolvere il sistema isolando $((-1,1),(-2,0))$ e spostando quindi a destra $((-1),(1))$, e il risultato viene sbagliato.
Grazie di nuovo per la cortese attenzione! ciao
$((-1,1,-1),(-2,0,1))$ $((x1),(x2),(x3))$ = $((0),(-2))$
Giunto a questo punto, mi è stato detto a lezione senza troppe spiegazioni che bisogna operare una "partizione". In questo caso, leggendo la soluzione fa
$((1,-1),(0,1))$ $((x1),(x2))$ = $((0),(-2))$ - $((-1),(-2))*$$x_3$
Che poi, sviluppato, si risolve come un sistema di Cramer. Quello che non riesco a capire è in base a quale criterio (di nuovo..) si sceglie cosa partizionare. Ho provato, infatti, a risolvere il sistema isolando $((-1,1),(-2,0))$ e spostando quindi a destra $((-1),(1))$, e il risultato viene sbagliato.
Grazie di nuovo per la cortese attenzione! ciao
Si era detto che la prima riga poteva essere eliminata in quanto combinazione lineare delle altre.
Dunque il sistema lineare iniziale è equivalente a quello da te scritto .
Abbiamo un sistema di 2 equazioni in 3 incognite .
Poichè la matrice $((-1,1),(-2,0)) $ ha determinante $ne 0 $ sposto i termini in $x_3 $ a destra dell'uguale , considerandioli come termini noti.
A questo punto consiglio di abbandonare, per capire , la notazione matriciale ed esplicitare il sistema così:
$-x_1+x_2 =x_3 $
$ -2x_1 = -x_3-2$ che risolvo in funzione del parametro $x_3 $ .
Dunque il sistema lineare iniziale è equivalente a quello da te scritto .
Abbiamo un sistema di 2 equazioni in 3 incognite .
Poichè la matrice $((-1,1),(-2,0)) $ ha determinante $ne 0 $ sposto i termini in $x_3 $ a destra dell'uguale , considerandioli come termini noti.
A questo punto consiglio di abbandonare, per capire , la notazione matriciale ed esplicitare il sistema così:
$-x_1+x_2 =x_3 $
$ -2x_1 = -x_3-2$ che risolvo in funzione del parametro $x_3 $ .
Ti consiglio di studiare il Teorema di Rouchè-Capelli che dà le basi teoriche su come ci si deve comportare per la risoluzione di un sistema lineare.
Il teorema di Rouché-Capelli l'ho studiato, mi dice che un sistema, affinché sia consistente, deve soddisfare l'eguaglianza tra il rango della matrice A e il rango della matrice A orlata con il vettore dei termini noti. Sicuramente andrò a rivedermelo, e ti ringrazio per il consiglio, ma qui non capisco perchè tal teorema dovrebbe venirmi in soccorso.
Forse non ho reso ben chiaro il mio disagio nel passaggio dell'esercizio sopra: la sottomatrice che seleziono deve avere determinante ≠0, come mi hai scrittu tu; se ci sono più sottomatrici che soddisfano quel requisito? Nell'esercizio che ho postato, $((-1,1),(-2,0))$ non è la sola sottomatrice con determinante ≠0, anche $((-1,-2),(-1,1))$. Se avessi scelto quest'ultima (a meno che non sia possibile farlo, in tal caso ho bisogno di un chiarimento) e mandato a destra $((1),(0))$, sarebbe stato lo stesso?
Spero di aver reso chiaro ciò che realmente non capisco..
Forse non ho reso ben chiaro il mio disagio nel passaggio dell'esercizio sopra: la sottomatrice che seleziono deve avere determinante ≠0, come mi hai scrittu tu; se ci sono più sottomatrici che soddisfano quel requisito? Nell'esercizio che ho postato, $((-1,1),(-2,0))$ non è la sola sottomatrice con determinante ≠0, anche $((-1,-2),(-1,1))$. Se avessi scelto quest'ultima (a meno che non sia possibile farlo, in tal caso ho bisogno di un chiarimento) e mandato a destra $((1),(0))$, sarebbe stato lo stesso?
Spero di aver reso chiaro ciò che realmente non capisco..
Puoi scegliere la sottomatrice che vuoi purchè abbia rango massimo possibile.
Scegliere una sottomatrice o invece un'altra significa semplicemente che la soluzione verrà espressa in termini di uno o più parametri diversi tra loro . Ad esempio , parlo in generale , la soluzione verrà espressa in funzione di $x_1 $ oppure in funzione di $x_2 $ etc . Quindi attenzione a dire che una soluzione è sbagliata perchè non contiene gli stessi parametri....
Scegliere una sottomatrice o invece un'altra significa semplicemente che la soluzione verrà espressa in termini di uno o più parametri diversi tra loro . Ad esempio , parlo in generale , la soluzione verrà espressa in funzione di $x_1 $ oppure in funzione di $x_2 $ etc . Quindi attenzione a dire che una soluzione è sbagliata perchè non contiene gli stessi parametri....
ah.. capisco perfettamente, ora mi è chiaro. In effetti l'esercizio sopra, come risolto dall'esercitatore a lezione, dava un risultato. Io, considerando un'altra sottomatrice, sono pervenuto a un risultato diverso, e subito mi sono preoccupato (i calcoli li ho ricontrollati mille volte, e son giusti). 
C'è un altro modo molto semplice per verificare che la propria soluzione sia corretta, senza rifare i calcoli mille volte......
Inserisci nel sistema originale le soluzioni che hai trovato e vedi se le singole equazioni sono verificate.
Inserisci nel sistema originale le soluzioni che hai trovato e vedi se le singole equazioni sono verificate.
Non ci avevo pensato. Basta che prendo, ad esempio, la prima riga $x_1$ + $x_2$ - 2$x_3$ = 2 e sostituisco dentro i risultati, se viene un'identità, significa che è soddisfatta l'equazione? (ho un pò di ruggine mentale..).
Certo, ma lo devi fare per tutte le equazioni per avere certezza che il risultato sia corretto.
Inizio OT
mi sembra di aver letto che tu stai facendo Economia a Milano Bicocca .
Esatto ? Con mia grande sorpresa ho visto che nell'ambito della Facoltà di Economia ci sono ben 6 diversi CdL che spaziano
in campi diversi :
-Banche e assicurazioni
-Amministrazione delle imprese
-Economia e commercio ( una volta era l'unica )
-Economia , statistica per l'azienda
-Economia e gestione servizi turistici
- Marketing, comunicazione aziendale e mercati globali
Tu quale segui ? In base a quali considerazioni l'hai scelto ?
Quale va per la maggiore ? Opportunità di lavoro ?
Una futura matricola mi ha chiesto dei consigli/suggerimenti e.. così ho scoperto un mondo che non pensavo fosse così vasto.
Grazie per le eventuali informazioni.
fine OT.
Inizio OT
mi sembra di aver letto che tu stai facendo Economia a Milano Bicocca .
Esatto ? Con mia grande sorpresa ho visto che nell'ambito della Facoltà di Economia ci sono ben 6 diversi CdL che spaziano
in campi diversi :
-Banche e assicurazioni
-Amministrazione delle imprese
-Economia e commercio ( una volta era l'unica )
-Economia , statistica per l'azienda
-Economia e gestione servizi turistici
- Marketing, comunicazione aziendale e mercati globali
Tu quale segui ? In base a quali considerazioni l'hai scelto ?
Quale va per la maggiore ? Opportunità di lavoro ?
Una futura matricola mi ha chiesto dei consigli/suggerimenti e.. così ho scoperto un mondo che non pensavo fosse così vasto.
Grazie per le eventuali informazioni.
fine OT.
Seguo il corso di Economia e amministrazione delle imprese, che sarebbe quello volto più alla formazione manageriale. Uscendo, potrei fare principalmente consulenza per un'azienda, oppure il commercialista. I corsi sono molti, come hai detto tu, una cosa evidente è che i primi anni, per non generalizzare dicendo nel triennio, si studiano praticamente le stesse cose qualunque sia il corso da te scelto. Ho conosciuto varie persone di altrettanti vari corsi, e confrontandoci ne è emerso proprio questo. Forse i corsi si differenziano per la presenza di una materia di indirizzo, come ad es. Marketing, dove al posto di Matematica generale II (l'esame che sto preparando), fanno Marketing. Nel biennio di specializzazione è tutto un altro paio di maniche, e li sono ancora disinformato, essendo solo al primo anno.
Le considerazioni che mi hanno spinto lì? In realtà non ho ponderato moltissimo la scelta. Mi son ritrovato a fine estate a dover prendere una decisione, e l'ho presa un pò a naso. Diciamo che il mio corso, ECOAMM, è uno dei più validi a detta di molti professori (imparziali, visto che insegnano in tutti i corsi..).
Io provenivo da un linguistico, è stato un cambio di rotta totale che ho effettuato sia per interessi personali che per il desiderio di formarmi in un campo che, a quanto dicono, dà qualche possibilità in più nel lavoro.
Le considerazioni che mi hanno spinto lì? In realtà non ho ponderato moltissimo la scelta. Mi son ritrovato a fine estate a dover prendere una decisione, e l'ho presa un pò a naso. Diciamo che il mio corso, ECOAMM, è uno dei più validi a detta di molti professori (imparziali, visto che insegnano in tutti i corsi..).
Io provenivo da un linguistico, è stato un cambio di rotta totale che ho effettuato sia per interessi personali che per il desiderio di formarmi in un campo che, a quanto dicono, dà qualche possibilità in più nel lavoro.
Propongo due esercizi svolti sui sistemi lineari, a completamento del 3D precedente.
1)Si risolva, se possibile, il sistema seguente:
$ -2x+y+z-t = 1 $
$ 2x-y-z-t = 0 $
2) Quante sono le soluzioni del sistema
$ x- z =1 $
$(k-1)z =0 $
$ -kx - kz = -1 $
$ -x+ky +(1+k) z = k^2 $
al variare del parametro reale $ k $ ?
Buon lavoro !
1)Si risolva, se possibile, il sistema seguente:
$ -2x+y+z-t = 1 $
$ 2x-y-z-t = 0 $
2) Quante sono le soluzioni del sistema
$ x- z =1 $
$(k-1)z =0 $
$ -kx - kz = -1 $
$ -x+ky +(1+k) z = k^2 $
al variare del parametro reale $ k $ ?
Buon lavoro !
Grazie Camillo, sei stato gentilissimo!
Caro Sergio, che cosa ti sfugge ? nulla
A me invece è " sfuggito " un banale, ma fatale errore di calcolo nella soluzione numero 2 del primo esercizio .
$ t =-1/2 $ , corretto
invece che $ t=0 $, errato !!!
Di conseguenza il vettore soluzione è $( 1/2*(y+z)-1/4,y,z,-1/2)$. Lo credo che non ti tornassero i conti !!
Le soluzioni, prima di metterle in rete, vanno sempre verificate !! lo dico a me stesso !!
Quanto al tuo uso del metodo di riduzione a gradini so che è molto usato ma io ho una innata antipatia, non so perchè : piace a tutti tranne che a me.
Bello il tuo modo di indicare la soluzione generale del sistema proposto come somma della soluzione generale del sistema omogeneo associato e di una soluzione particolare del sistema completo ( metodo largamente usato per la soluzione di ODE lineari ).
Per il resto ho svolto l'esercizio non nel modo più veloce ma col ( anzi con i ) metodi che mi sembravano più "didattici",richiamando il T. di Rouchè-Capelli , mettendo in evidenza come si calcola il numero di soluzioni e come si sceglie la(e ) sottomatrice(i) per poi approdare a un sistema quadrato(con matrice non singolare) risolvibile con Cramer o con altri metodi più spicci.
Non posso correggere l'errore nel mio post iniziale( causa problemi "tecnici" vari) e quindi questo post va considerato come correzione a quello iniziale.
Un grazie a Sergio per la segnalazione .
A me invece è " sfuggito " un banale, ma fatale errore di calcolo nella soluzione numero 2 del primo esercizio .
$ t =-1/2 $ , corretto
invece che $ t=0 $, errato !!!
Di conseguenza il vettore soluzione è $( 1/2*(y+z)-1/4,y,z,-1/2)$. Lo credo che non ti tornassero i conti !!
Le soluzioni, prima di metterle in rete, vanno sempre verificate !! lo dico a me stesso !!
Quanto al tuo uso del metodo di riduzione a gradini so che è molto usato ma io ho una innata antipatia, non so perchè : piace a tutti tranne che a me.
Bello il tuo modo di indicare la soluzione generale del sistema proposto come somma della soluzione generale del sistema omogeneo associato e di una soluzione particolare del sistema completo ( metodo largamente usato per la soluzione di ODE lineari ).
Per il resto ho svolto l'esercizio non nel modo più veloce ma col ( anzi con i ) metodi che mi sembravano più "didattici",richiamando il T. di Rouchè-Capelli , mettendo in evidenza come si calcola il numero di soluzioni e come si sceglie la(e ) sottomatrice(i) per poi approdare a un sistema quadrato(con matrice non singolare) risolvibile con Cramer o con altri metodi più spicci.
Non posso correggere l'errore nel mio post iniziale( causa problemi "tecnici" vari) e quindi questo post va considerato come correzione a quello iniziale.
Un grazie a Sergio per la segnalazione .
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