Semplificare una matrice.

[ingegnè]

Ciao a tutti, sto guardando degli esercizi già svolti ma non capisco proprio come in questo esercizio chi l'ha svolto sia riuscito a fare tali semplificazioni. L'esercizio è questo:
Stabilire per quali valori di k la matrice $ ( ( -11 , -8 , -16 ),( 2k+4 , 2k+1 , 2k+2 ),( 6-k , 6-k , 12-k) ) $ risulta diagonalizzabile.

Lui ha fatto i seguenti passaggi: $ ( ( -11-x , -8 , -16 ),( 2k+4 , 2k+1-x , 2k+2 ),( 6-k , 6-k , 12-k-x) ) = ( ( -(3+x) , -8 , 0 ),( 3+x , 2k+1-x , 2x-2k ),( 0 , 6-k , k-1 ) )=$ $ ( ( -(3+x) , -8 , 0 ),( 0 , 2k-7-x , 2x-2k ),( 0 , 6-k , k-x ) )=$ $ ( ( -(3+x) , -8 , 0 ),( 0 , 5-x , 0 ),( 0 , 6-k , k-x ) ) $
Infine ha scritto il polinomio caratteristico $ - (3+x)*(5-x)*(k-x) $ e ha visto che per $ k=5 $ la matrice non è diagonalizzabile mentre per $ k=-3 $ lo è.
Potreste spiegarmi come è riuscito a trovare gli zeri? E' davvero necessario ( lasciando stare la comodità poi nei calcoli ) ridurla così? Il quesito puo' essere risolto anche senza semplificazioni? Ultima domanda, una volta trovati i valori di x come si fa a vedere se per alcuni la matrice è diagonalizzabile e per altri no? Spero di essere stato chiaro e scusatemi per le svariate domande. Grazie.