Semplici quesiti

[MarcoPierro]

Salve a tutti, ho qui alcune domande che ha posto la mia prof ad un'esame.
Lo studente in questione interrogato non vi ha saputo rispondere e quindi sono rimaste "in sospeso", potreste darci un'occhiata?

1) Perchè l'immagine di un app.lineare di $0$ è $0$ ?
2) Il determinante di una matrice si conserva se la si riduce a gradini?
3) Due vettori sono indipendenti se hanno autovalori ... ?
4) Dimostrazione del più piccolo sottospazio

[Ernesto011]

1) Utilizzi la linearitá di L
$L(0)=L(0+0)=L(0)+L(0)=2L(0)$ quindi $2L(0)-L(0)=0$ cioé $L(0)=0$.
2) Dipende dal tipo di mosse che usi per arrivare a tale forma. Se per esempio moltiplichi una riga per uno scalare $alpha$, allora il nuovo determinante si ottiene dal vecchio moltiplicato per $alpha$. (E quindi verrebbe alterato)
3) Questa domanda non ha senso.
Se hanno autovalori uguali, possono essere linearmente indipendenti o no, dipende.
Se hanno autovalori diversi, sono necessariamente lin. indipendenti.
4) Il più piccolo sottospazio che contiene n vettori $v_1,...,v_n$, forse? Posta come l'hai posta tu invece, la risposta é $V={0}$