Semplice esercizio sulle matrici

[matematicoestinto]

Potete spiegarmi il procedimento usato in questo esercizio svolto dal professore?

Determinare la matrice C di ordine 3 tale che $((1,2,2),(-2,-1,2),(-2,2,-1))C=((-9,0,0),(0,9,0),(-9,0,9))$

Risoluzione:

Poichè la matrice $A=((1,2,2),(-2,-1,2),(-2,2,-1))$ ha la proprietà che $AA^T=A^TA=((9,0,0),(0,9,0),(0,0,9))$, ne segue che A è invertibile e $A^(-1)=A^T/9$

e quindi la matrice richiesta è :

$C=A^(-1)((-9,0,0),(0,9,0),(-9,0,9))=A^T((-1,0,0),(0,1,0),(-1,0,1))$


Domanda:

Come ha fatto a capire che la matrice $A=((1,2,2),(-2,-1,2),(-2,2,-1))$ ha la proprietà che $A*A^T=A^TA$ ?

come ha fatto a capire che
$A*A^T=A^TA=((9,0,0),(0,9,0),(0,0,9))$ (forse facendo semplicemente il calcolo o che altro?)


Forse è perchè A è una matrice simmetrica e quindi segue la proprietà?
Ma è corretto dire che A è simmetrica, o è meglio dire che A è riconducibile mediante perazioni elementari di riga suggerite dai teremi di Gauss a una matrice simmetrica?



EDIT


Ho sbagliato a scrivere la matrice, ora è corretto

[fireball1]

In realtà la matrice $A$ è antisimmetrica (o emisimmetrica, che dir si voglia);
se guardi bene, gli elementi simmetrici
rispetto alla diagonale principale sono uno
l'opposto dell'altro, e una matrice quadrata
invertibile a coeff. reali è detta emisimmetrica
se $A^t=-A$ ovvero, se $A$ è invertibile:
$A^(-1)A^t=-I

[matematicoestinto]

Scusa Fireball, avevo sbagliato a scrivere la matrice.....

Adesso è scritta in modo corretto

[fireball1]

Beh, adesso A non è né simmetrica né antisimmetrica però...

[matematicoestinto]

però........???

E' proprio quello chenon ho capito......

Dai non mi tenere sulle spine.. ho tante altre cose da studiare

[fireball1]

Non sto assolutamente tenendoti sulle spine,
volevo dire "però adesso la matrice A non è
né simmetrica né antisimmetrica" !!!

[matematicoestinto]

Avevo capito male