Semplice dubbio. Rango e Dimensione
Salve a tutti,
ho un piccolo dubbio che non riesco a risolvere.
sulle dispense ho letto che e dimostrato che la dimensione del Linear span(non ho trovato il simbolo) delle righe di una matrice A, è = alla Dimensione del Linear Span delle colonne di A. Inoltre il Rk(A)=alla dimensione. Giusto?
Però in seguito il teorema "nullità più rango" asserisce che la dimA in un sistema omogeneo, = numero incognite - rk(A). E quindi qualcosa non torna. Dove ho sbagliato?
Es.
A = $|(1,2,3),(3,2,1)|$ $|(0),(0)|$
la dim=2, quindi 2=3-1. Il rk(A) quindi è 2 o 1? Premetto che forse dovrei ancora rileggere un po' il tutto, però mi pare di aver capito che il rk è il massimo numero di righe l.i.
Grazie a tutti. cancellerò la domanda per non intasare il forum
ho un piccolo dubbio che non riesco a risolvere.
sulle dispense ho letto che e dimostrato che la dimensione del Linear span(non ho trovato il simbolo) delle righe di una matrice A, è = alla Dimensione del Linear Span delle colonne di A. Inoltre il Rk(A)=alla dimensione. Giusto?
Però in seguito il teorema "nullità più rango" asserisce che la dimA in un sistema omogeneo, = numero incognite - rk(A). E quindi qualcosa non torna. Dove ho sbagliato?
Es.
A = $|(1,2,3),(3,2,1)|$ $|(0),(0)|$
la dim=2, quindi 2=3-1. Il rk(A) quindi è 2 o 1? Premetto che forse dovrei ancora rileggere un po' il tutto, però mi pare di aver capito che il rk è il massimo numero di righe l.i.
Grazie a tutti. cancellerò la domanda per non intasare il forum
Risposte
Ciao, boerobest.
Data una matrice $A$ dotata di $m$ righe e di $n$ colonne (per esempio, a coefficienti reali, più in generale in un campo), quindi una matrice del tipo:
$A=((a_{11},a_{12},....,a_{1n}),(a_{21},a_{22},....,a_{2n}),(....,....,....,....),(a_{m1},a_{m2},....,a_{mn}))$
si può dimostrare, effettivamente, che la dimensione dello spazio generato dai vettori riga della matrice è sempre uguale alla dimensione dello spazio generato dai vettori colonna della matrice; questo numero comune costituisce quello che si chiama rango della matrice $A$ (indicato, solitamente, con $rk(A)$).
Per poter capire meglio la questione, bisogna aver chiaro, prima di tutto i concetti di "vettori linearmente indipendenti (o dipendenti)" e il concetto di base di uno spazio (o di un sottospazio) vettoriale.
Nell'esempio da te riportato, c'è un errore evidente: non è possibile moltiplicare una matrice a 2 righe e a 3 colonne per un vettore colonna a due righe.
La matrice del tuo esempio è associabile ad una applicazione lineare $L$ definita su $RR^3$ e a valori in $RR^2$; il rango della matrice coincide con la dimensione dell'immagine di tale applicazione lineare.
Comunque, ammettendo che il vettore nullo abbia non due, ma tre componenti (come è giusto che sia), nel tuo esempio si dovrebbe avere, dal teorema "nullità + rango":
$rk(A)+ dim(Ker(L))=n$
dove $Ker(L)$ è il nucleo dell'applicazione lineare $L$ ed n è la dimensione del dominio di $L$.
Nel nostro caso: $rk(A)=2$ e $n=3$, quindi $dim(Ker(L))=1$.
Si ha $rk(A)=2$ perchè si vede immediatamente che i due vettori riga che costituiscono la matrice del tuo esempio sono chiaramente vettori linearmente indipendenti; nel caso di due vettori è sufficiente verificare che un vettore non sia multiplo dell'altro.
Spero di essere stato utile.
Saluti... e non cancellare la domanda dal forum; il chiarimento potrebbe essere utile anche ad altre persone.
Data una matrice $A$ dotata di $m$ righe e di $n$ colonne (per esempio, a coefficienti reali, più in generale in un campo), quindi una matrice del tipo:
$A=((a_{11},a_{12},....,a_{1n}),(a_{21},a_{22},....,a_{2n}),(....,....,....,....),(a_{m1},a_{m2},....,a_{mn}))$
si può dimostrare, effettivamente, che la dimensione dello spazio generato dai vettori riga della matrice è sempre uguale alla dimensione dello spazio generato dai vettori colonna della matrice; questo numero comune costituisce quello che si chiama rango della matrice $A$ (indicato, solitamente, con $rk(A)$).
Per poter capire meglio la questione, bisogna aver chiaro, prima di tutto i concetti di "vettori linearmente indipendenti (o dipendenti)" e il concetto di base di uno spazio (o di un sottospazio) vettoriale.
Nell'esempio da te riportato, c'è un errore evidente: non è possibile moltiplicare una matrice a 2 righe e a 3 colonne per un vettore colonna a due righe.
La matrice del tuo esempio è associabile ad una applicazione lineare $L$ definita su $RR^3$ e a valori in $RR^2$; il rango della matrice coincide con la dimensione dell'immagine di tale applicazione lineare.
Comunque, ammettendo che il vettore nullo abbia non due, ma tre componenti (come è giusto che sia), nel tuo esempio si dovrebbe avere, dal teorema "nullità + rango":
$rk(A)+ dim(Ker(L))=n$
dove $Ker(L)$ è il nucleo dell'applicazione lineare $L$ ed n è la dimensione del dominio di $L$.
Nel nostro caso: $rk(A)=2$ e $n=3$, quindi $dim(Ker(L))=1$.
Si ha $rk(A)=2$ perchè si vede immediatamente che i due vettori riga che costituiscono la matrice del tuo esempio sono chiaramente vettori linearmente indipendenti; nel caso di due vettori è sufficiente verificare che un vettore non sia multiplo dell'altro.
Spero di essere stato utile.
Saluti... e non cancellare la domanda dal forum; il chiarimento potrebbe essere utile anche ad altre persone.
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