Semplice domanda su esempio semigruppi.

[bla99hf]

Salve,

data la seguete definizione di semigruppo:
Si dice che una struttura algebrica $(X,**)$ è un semigruppo se $**$ è associativa.

e data la seguente definizione di associatività:
Un'operazione $**:X \times X \rightarrow X$ si dice associativa se $AA x,y,z \in X$ si ha:
$x**(y**z)=(x**y)**z$


ho il seguente esempio:
In $ZZ$ si consideri l'operazione $**$ definita ponendo $AA x,y \in ZZ$, da:
$x**y=x+2y$.
La struttura algebrica $(Z,**)$ non è un semigruppo.


presumo che per far vedere che non è un semigruppo, devo far vedere che la struttura non è associativa.
come si procede?

grazie mille.

[apatriarca]

Ti calcoli x*(y*z) e (x*y)*z e mostri che sono diversi...
Il primo ad esempio viene:

y*z = y + 2z
x*(y*z) = x + 2(y + 2z) = x + 2y + 4z

Calcola il secondo prodotto e verifica che il risultato non è lo stesso.

[bla99hf]

cioè praticamente alla $y$ di $x+2y$ ci sostituisci $y**z$?
mi sfugge da dove esce fuori $x + 2(y + 2z)$
devo togliere o meno le parentesi?

per la prima senza togliere le parentesi ottengo il seguente, come hai detto tu:
$x**(y**z)$
$x**(y+2z)$
$x+2(y+2z)$
$x+2y+4z$

togliendole ottengo:
$x**(y**z)$
$x**(y+2z)$
$x**y+2z$
$x+2y+2z$

quindi il modo giusto di procedere è quello di non tolgliere le parentesi?

mentre dovrebbe essere quindi per la seconda, se non erro:
$(x**y)**z$
$x+2y**z$
$x+2(y**z)$
$x+2(y+2z)$
$x+2y+4z$

[apatriarca]

Attento che non siamo nell'anello dei numeri interi!!! La proprietà distributiva non vale in questo caso e la somma non è un operazione della struttura algebrica che stai analizzando. Quindi x*(a + b) non può diventare x*a + x*b. L'operazione non ha proprio senso.

Per la seconda hai
x*y = x + 2y
(x*y)*z = (x + 2y) + 2z

[bla99hf]

non mi è chiaro. non mi spiego perchè c'è quel $2z$.

scrivo come avrei proceduto per la seconda ma non ho ben capito come fare o se è giusto o meno:
$(x**y)**z$
$x**y=x+2y$

sostituisco e tolgo le parentesi
$x+2y**z$
e a $y**z$ sostituisco $y**z=y+2z$
$x+2(y+2z)$

ma non dovrebbe essere giusto...
mi sto certamente perdendo in una cavolata.
non mi è chiaro! non mi sono chiari i passaggi!

[apatriarca]

$x + 2y**z$ è un'espressione che nella tua struttura algebrica non ha senso. $(x + 2y)**z != x + 2y**z$ anche in $ZZ$ con $**$ uguale alla moltiplicazione tra interi. Non riesco quindi a capire come mai fai dei passaggi di questo tipo.

Il procedimento giusto è il seguente:

- Per calcolare $(x**y)**z$ prima ti calcoli il numero $w = x**y$ e poi calcoli $w**z$. Quindi
$w = x**y = x + 2y$
$w**z = w + 2z = 2 + 2y + 2z$

- Per calcolare $x**(y**z)$ ti calcoli prima il numero $w = y**z$ e poi calcoli $x**w$. Quindi
$w = y**z = y + 2z$
$x**w = x + 2w = x + 2(y + 2z) = x + 2y + 4z$

Le parentesi sono importanti e le puoi eliminare solo quando passi all'anello $ZZ$ e alla sua definizione (a patto che abbia senso eliminarle).

[bla99hf]

bene ora è chiaro.
Poi per quanto riguarda per esempio il passaggio da $x**y$ dal quale mi ricavo $y**z$.
Data $x**y=x+2y$ per ottenere $y**z$ bisogna solamente sostituire a posto della $x$ la $y$, e a posto della $y$ la $z$ o questo viene fatto in virtu di qualche principio?

[apatriarca]

x*y = x + 2y vale per ogni x e y. Quindi se invece di x e y hai due elementi a e b devi solo sostituire a e b al posto di x e y nella definizione.

[bla99hf]

perfetto, grazie. ora è tutto chiarissimo. Ti ringrazio tanto per la tua grande pazienza!

[Gauss91]

certo: sono solo dei simboli rappresentanti degli elementi, l'unica limitazione è ke siano tutti appartenenti allo stesso semigruppo (nel tuo caso $(Z, *)$). Ciò significa che a $x$ e $y$ puoi sostituire qualsiasi simbolo, basta ke denoti un elemento del semigruppo: per essere un po' profani, si potrebbe dire che $mario*carlo = mario +2carlo$, se premettiamo che $mario$ e $carlo$ sono due elementi di $(Z, *)$.
Insomma, è solo una questione di simboli!