Semplice connessione

[dissonance]

Supponiamo che $X\subRR^2$ semplicemente connesso. Allora $X-Fr(X)$ (frontiera) è semplicemente connesso. E' vero?

[gugo82]

Mi pare di sì.
Infatti, $X$ è semplicemente connesso se e solo se $Y=RR^2-X$ è connesso; ora posto $X'=X-\partial X$ ed $Y'=RR^2-X'$ si ha $Y'=(RR^2-X)cup \partial X=Ycup \partial Y=barY$ (ricordo che $\partial Y=\partial X$); visto che $Y$ è connesso, anche $Y'=barY$ è connesso, perciò $X'$ è semplicemente connesso.
Che dici, può andare?

[Domè891]

secondo me si, basta guardare la definizione si semplicemente connesso...

ciao

[dissonance]

"Gugo82":
Infatti, $X$ è semplicemente connesso se e solo se $Y=RR^2-X$ è connesso;

Questo teorema non lo conoscevo... è difficile da dimostrare?

Quanto al resto dell'argomentazione, non fa una grinza: se il complementare di $X$ è connesso, anche il complementare di $X-Fr(X)$ lo sarà. E' una dimostrazione molto chiara, ti ringrazio!

[gugo82]

Veramente è una definizione di connessione semplice... Ed è molto più facile di quella classica (che usa il teorema di Jordan sui domini delimitati da curve chiuse) oppure di quella che usa la contrazione delle curve ("$X$ è semplicemente connesso se e solo se ogni curva chiusa contenuta in $X$ è contraibile su un punto di $X$").

[adaBTTLS1]

nemmeno io la conoscevo, però non si può prescindere dalla connessione di X. se infatti prendi X sconnesso, unione di due aperti disgiunti semplicemente connessi, allora $RR^2-X$ è connesso, anche se non semplicemente connesso. quindi, modificando leggermente la frase (definizione), si potrebbe dire:
sia X connesso. allora è semplicemente connesso se e solo se il suo complementare rispetto ad uno spazio (...?...) è connesso... ? ciao.

[dissonance]

Penso che la cosa non funzioni in spazi diversi da $RR^2$: già in $RR^3$ c'è il classico esempio della corona sferica, che è semplicemente connessa ma il suo complementare è sconnesso. Come diceva adaBTTLS la proposizione dovrebbe essere:

Sia $X\subRR^2$ connesso, allora:
($X$ è semplicemente connesso)$\iff$($RR^2-X$ è connesso).
Qui però mi fermo perché non conosco quasi per niente questo argomento.

[gugo82]

L'equivalenza tra la definizione canonica di connessione semplice e quella che ho proposto (in maniera incompleta) vale solo in $RR^2$, ossia nel piano complesso: infatti è usata per lo più in Analisi Complessa.
Che non valga in $RR^n$ per $n>2$ è evidente perchè, per $n=3$, $S^2$ è semplicemente connessa in $RR^3$ epperò $RR^3-S^2$ è sconnesso.

La definizione completa di connessione semplice in $RR^2$ è la seguente: "$X subseteq RR^2$ è semplicemente connesso se e solo se esso ed il suo complemento sulla sfera di Riemann sono connessi".