Semplice chiarimento su un esercizio di intersezione rette
ciao a tutti
mi serve un chiarimento su questo esercizio
siano le rette: r: $\{(x+y=1),(y+z=1):}$ s: $\{(y-hx=h),(y-z=h):}$
stabilire la posizione reciproca delle 2 rette al variare di h
SVOLGIMENTO
allora prima di tutto ho guardato la complanarità
e ho determinato che per h=1 sono complanari
poi dovevo determinare se sono parallele o perpendicolari
CONDIZIONE DI PARALLELISMO: vettore parallelo retta r=k vettore parallelo retta s
ovvero i vettori sono l uno multiplo dell altro
ma ho determinato che non sono parallele
cosi ho fatto il prodotto vettoriale tra le 2 rette e ho determinato che sono perpendicolari
è corretto?
ho molta confusione in testa
grazie a tutti
mi serve un chiarimento su questo esercizio
siano le rette: r: $\{(x+y=1),(y+z=1):}$ s: $\{(y-hx=h),(y-z=h):}$
stabilire la posizione reciproca delle 2 rette al variare di h
SVOLGIMENTO
allora prima di tutto ho guardato la complanarità
e ho determinato che per h=1 sono complanari
poi dovevo determinare se sono parallele o perpendicolari
CONDIZIONE DI PARALLELISMO: vettore parallelo retta r=k vettore parallelo retta s
ovvero i vettori sono l uno multiplo dell altro
ma ho determinato che non sono parallele
cosi ho fatto il prodotto vettoriale tra le 2 rette e ho determinato che sono perpendicolari
è corretto?
ho molta confusione in testa
grazie a tutti
Risposte
Se ho capito bene per verificare la perpendicolarità hai preso i coefficienti direttori $(t_1,t_2,t_3)$ e $(l_1,l_2,l_3)$ e hai verificato che:
$||(t_1,t_2,t_3) ^^ (l_1,l_2,l_3)||=$$||$$(t_1,t_2,t_3)$$||$$*$$||$$(l_1,l_2,l_3)$$||$ ?
Non è un po' esagerato ?
Ti bastava verificare che:
$< (t_1,t_2,t_3) , (l_1,l_2,l_3)> = 0$
$||(t_1,t_2,t_3) ^^ (l_1,l_2,l_3)||=$$||$$(t_1,t_2,t_3)$$||$$*$$||$$(l_1,l_2,l_3)$$||$ ?
Non è un po' esagerato ?
Ti bastava verificare che:
$< (t_1,t_2,t_3) , (l_1,l_2,l_3)> = 0$
no ma in pratica non ho neanche fatto calcoli
nel senso che ho subito visto che i 2 vettori non sono uno multiplo dell altro
per la condizione di perpendicolarità invece?
è corretto fare il prodotto vettoriale?
nel senso che ho subito visto che i 2 vettori non sono uno multiplo dell altro
per la condizione di perpendicolarità invece?
è corretto fare il prodotto vettoriale?
Non ho fatto i calcoli, comunque:
come hai fatto a vedere-ad occhio- che le rette sono/non sono parallele senza portarle in forma parametrica?
p.s. io parlavo di perpedicolarità appunto ! Hai usato il prodotto vettoriale come ho scritto io, vero?
come hai fatto a vedere-ad occhio- che le rette sono/non sono parallele senza portarle in forma parametrica?
p.s. io parlavo di perpedicolarità appunto ! Hai usato il prodotto vettoriale come ho scritto io, vero?
no aspetta
le ho portate in parametrica e da li ho determinato i vettori paralleli a entrambe
e avendo sotto mano i vettori paralleli ho determinato ad occhio che non sono multipli l uno dell altro
quindi la condizione di parallelismo NON è rispettata
i vettori paralleli risultano:
r: $(1,-1,1)$
s:$(1/h;1,1)$
le ho portate in parametrica e da li ho determinato i vettori paralleli a entrambe
e avendo sotto mano i vettori paralleli ho determinato ad occhio che non sono multipli l uno dell altro
quindi la condizione di parallelismo NON è rispettata
i vettori paralleli risultano:
r: $(1,-1,1)$
s:$(1/h;1,1)$
E per quanto riguarda la perpendicolarità ?
per la perpendicolarità ho fatto:
det $((i,j,k),(1,-1,1),(1/h,1,1))=0$
ed è risultato che cio è valido per u h=1
(tra l altro unico valore per cui le due rette sono complanari)
det $((i,j,k),(1,-1,1),(1/h,1,1))=0$
ed è risultato che cio è valido per u h=1
(tra l altro unico valore per cui le due rette sono complanari)
Guarda che:
$(t_1,t_2,t_3) ^^ (l_1,l_2,l_3)=vec 0$
implica che le rette siano parallele, te non volevi studiare la perpendicolarità ?
$(t_1,t_2,t_3) ^^ (l_1,l_2,l_3)=vec 0$
implica che le rette siano parallele, te non volevi studiare la perpendicolarità ?
si è questo il mio dubbio
i vettori non sono uno multiplo dell altro ma sono lo stesso paralleli?
come è possibile?
i vettori non sono uno multiplo dell altro ma sono lo stesso paralleli?
come è possibile?
Vediamo di fare un po' di chiarezza.
I vettori dei coefficienti direttori o dei coseni direttori che hai trovato sono:
$vec a =(1,-1,1)$ e $vec b=(1/h,1,1)$
$r $$/$$/ s <=> vec a $$/$$/ vec b$ ovvero se $EE lambda in RR | vec a = lambda * vec b$:
$(1,-1,1)=lambda*(1/h,1,1)$
scalarmente:
${(1=lambda/h),(-1=lambda),(1=lambda):}$ impossibile dunque: $AA h in RR^** r not $$/$$/ s$.
$r bot s <=> vec a bot vec b <=> =0$
$<(1,-1,1) ,(1/h,1,1)> = 0 <=> 1/h-1+1=0$ impossibile dunque: $AA h in RR^** r not bot s$.
Prima hai calcolato $vec a ^^ vec b$, bene vediamolo:
$vec a ^^ vec b=det(((hat i,hat j,hat k),(1,-1,1),(1/h,1,1)))=(-2, -1+1/h, 1+1/h)$
come puoi ben vedere $vec a ^^ vec b != vec 0text{ } AA h in RR^** $quindi $AA h in RR^** r not $$/$$/ s$ (cosa che avevamo già trovato).
Tutto chiaro ?
I vettori dei coefficienti direttori o dei coseni direttori che hai trovato sono:
$vec a =(1,-1,1)$ e $vec b=(1/h,1,1)$
$r $$/$$/ s <=> vec a $$/$$/ vec b$ ovvero se $EE lambda in RR | vec a = lambda * vec b$:
$(1,-1,1)=lambda*(1/h,1,1)$
scalarmente:
${(1=lambda/h),(-1=lambda),(1=lambda):}$ impossibile dunque: $AA h in RR^** r not $$/$$/ s$.
$r bot s <=> vec a bot vec b <=>
$<(1,-1,1) ,(1/h,1,1)> = 0 <=> 1/h-1+1=0$ impossibile dunque: $AA h in RR^** r not bot s$.
Prima hai calcolato $vec a ^^ vec b$, bene vediamolo:
$vec a ^^ vec b=det(((hat i,hat j,hat k),(1,-1,1),(1/h,1,1)))=(-2, -1+1/h, 1+1/h)$
come puoi ben vedere $vec a ^^ vec b != vec 0text{ } AA h in RR^** $quindi $AA h in RR^** r not $$/$$/ s$ (cosa che avevamo già trovato).
Tutto chiaro ?
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