Segno del versore normale ad una curva
Salve a tutti,
Sto cercando di capire il motivo per cui nell'espressione normalizzata del versore normale ad una curva sia presente un segno negativo sul valore $ x $ .
Prendiamo una curva $ Phi:[a,b]rarr mathbb(R) ^2 $ che abbia componenti $ Phi(t) = x((t),y(t)) $ ;
a questo punto per trovare il versore tangente alla curva bisogna fare la derivata di $ Phi(t) $ e normalizzare:
$ T = 1/(sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2))*( (x'(t)), (y'(t)) ) $
Per trovare il versore normale a questa curva bisogna fare la derivata seconda di $ Phi(t) $ e normalizzare anche in questo caso, dalla letteratura trovo il seguente risultato:
$ nu = 1/(sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2))*( (y'(t)), (-x'(t)) ) $
Non riesco a capire come sia arrivato a questo ultimo risultato, perchè quel meno? qualcuno è in grado di illuminarmi?
Grazie in anticipo
Sto cercando di capire il motivo per cui nell'espressione normalizzata del versore normale ad una curva sia presente un segno negativo sul valore $ x $ .
Prendiamo una curva $ Phi:[a,b]rarr mathbb(R) ^2 $ che abbia componenti $ Phi(t) = x((t),y(t)) $ ;
a questo punto per trovare il versore tangente alla curva bisogna fare la derivata di $ Phi(t) $ e normalizzare:
$ T = 1/(sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2))*( (x'(t)), (y'(t)) ) $
Per trovare il versore normale a questa curva bisogna fare la derivata seconda di $ Phi(t) $ e normalizzare anche in questo caso, dalla letteratura trovo il seguente risultato:
$ nu = 1/(sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2))*( (y'(t)), (-x'(t)) ) $
Non riesco a capire come sia arrivato a questo ultimo risultato, perchè quel meno? qualcuno è in grado di illuminarmi?
Grazie in anticipo
Risposte
Tu hai $T(t)=(v(t))/(||v(t)||)$
Ora $dT(t)=d(v(t))/(||v(t)||)=(||v(t)||*a(t)-(a(t)*v(t))/(||v(t)||)*v(t))/(||v(t)||^2)$
$dT(t)=[a(t)-(a(t)*v(t))/(||v(t)||^2)*v(t)]/(||v(t)||)=(a_R(t))/(||v(t)||)$
$a_R(t)$ è l’accelerazione radiale.
Ovvero la componente dell’accelerazione normale alla velocità.
In poche parole $N(t)=(a_R(t))/(||a_R(t)||)$ è il vettore che punta all’interno della concavità della curva, ovvero ‘dove sterza’
Il verso di tale versore dipende appunto da come la curva gira.
Ora $dT(t)=d(v(t))/(||v(t)||)=(||v(t)||*a(t)-(a(t)*v(t))/(||v(t)||)*v(t))/(||v(t)||^2)$
$dT(t)=[a(t)-(a(t)*v(t))/(||v(t)||^2)*v(t)]/(||v(t)||)=(a_R(t))/(||v(t)||)$
$a_R(t)$ è l’accelerazione radiale.
Ovvero la componente dell’accelerazione normale alla velocità.
In poche parole $N(t)=(a_R(t))/(||a_R(t)||)$ è il vettore che punta all’interno della concavità della curva, ovvero ‘dove sterza’
Il verso di tale versore dipende appunto da come la curva gira.
Nel secondo passaggio , il secondo membro del numeratore perchè ti esce in quel modo?
non dovrebbe essere $d (v(t))/(||v(t)||) = (||v(t)||*a(t) - (a(t)* ||v(t)||)/(v(t)) * v(t))/(||v(t)||) $ e quindi venire tutto zero?
non dovrebbe essere $d (v(t))/(||v(t)||) = (||v(t)||*a(t) - (a(t)* ||v(t)||)/(v(t)) * v(t))/(||v(t)||) $ e quindi venire tutto zero?
Come fa a venire a te così.
Il secondo membro del numeratore è la derivata del modulo della velocità per la velocità. Dunque essendo la derivata di un valore assoluto uguale al valore assoluto diviso il suo argomento, nel numeratore abbiamo l'equazione che ho scritto poco sopra, dove sbaglio?
Salve a tutti, non sto riuscendo a capire il concetto. La mia derivata è sbagliata?
Scusa, non ho più controllato la discussione.
Andiamoci nel caso particolare così lo noti meglio
Un vettore normale a una curva è definito come un vettore normale a quello tangente.
Quindi un vettore normale è $vec(n)=(y’(t),-x’(t))$
E un versore normale sarà $N(t)=1/(sqrt(x’(t)^2+y’(t)^2))*[(y’(t)),(-x’(t))]$
Poi considerando che la dimensione dell’ortogonale della velocità avrà dimensione $1$ e quindi $$ genera qualsiasi altro vettore normale alla curva al tempo $t$
Andiamoci nel caso particolare così lo noti meglio
$v(t)=(x’(t),y’(t))$
Un vettore normale a una curva è definito come un vettore normale a quello tangente.
ovvero $(x’(t),y’(t))*(a,b)=0 =>x’(t)a+y’(t)b=0$
$a=y’(t)$ e $b=-x’(t)$ verificano la condizione data
$a=y’(t)$ e $b=-x’(t)$ verificano la condizione data
Quindi un vettore normale è $vec(n)=(y’(t),-x’(t))$
E un versore normale sarà $N(t)=1/(sqrt(x’(t)^2+y’(t)^2))*[(y’(t)),(-x’(t))]$
Poi considerando che la dimensione dell’ortogonale della velocità avrà dimensione $1$ e quindi $
Grazie per la risposta anto_zoolander.
Con il tuo ultimo esempio ho compreso il concetto analiticamente, vorrei provare a fare un'esempio grafico. Dai parametri ricavati del versore velocità $V(t)$ e del versore normale $N(t)$ deduco che la proiezione sull'asse $X$ di $N(t)$ deve essere uguale alla proiezione sull'asse $Y$ di $V(t)$, mentre per la proiezione sull'asse $Y$ di $N(t)$ vale il viceversa ma in maniera discorde poichè abbiamo scritto appunto che $v(t)=(x'(t),y'(t))$ e $n(t)=(y'(t),-x'(t)$, ma questo accade solo nel secondo e quarto quadrante mentre succede l'esatto opposto per gli altri due quadranti.
Posto un'immagine per far capire meglio il concetto, le proiezioni sull'asse $X$ sono quelle in blu mentre quelle in rosso sono le proiezioni sull'asse $Y$ ed essendo proiezioni di versori le ho disegnate di uguale modulo.
Io suppongo che i parametri trovati dal nostro caso particolare siano le componenti dei versori del quarto quadrante della mia immagine poichè il versore $V(t)$ ha entrambe le proiezioni concordi con gli assi. Essendo la componente orizziontale di $N(t)$ concorde con quella di $V(t)$ e invece discorde quella verticale, abbiamo le condizioni verificate. Stessa cosa vale per il secondo quadrante poichè entrambe le componenti sono negative quindi non c'è permutazione dei segni. Mentre per il primo e terzo quadrante c'è una permutazione sulle componenti orizzontali e verticali di $V(t)$ e questo spiega perchè abbiamo una situazione specchiata, corretto?
Con il tuo ultimo esempio ho compreso il concetto analiticamente, vorrei provare a fare un'esempio grafico. Dai parametri ricavati del versore velocità $V(t)$ e del versore normale $N(t)$ deduco che la proiezione sull'asse $X$ di $N(t)$ deve essere uguale alla proiezione sull'asse $Y$ di $V(t)$, mentre per la proiezione sull'asse $Y$ di $N(t)$ vale il viceversa ma in maniera discorde poichè abbiamo scritto appunto che $v(t)=(x'(t),y'(t))$ e $n(t)=(y'(t),-x'(t)$, ma questo accade solo nel secondo e quarto quadrante mentre succede l'esatto opposto per gli altri due quadranti.
Posto un'immagine per far capire meglio il concetto, le proiezioni sull'asse $X$ sono quelle in blu mentre quelle in rosso sono le proiezioni sull'asse $Y$ ed essendo proiezioni di versori le ho disegnate di uguale modulo.
Io suppongo che i parametri trovati dal nostro caso particolare siano le componenti dei versori del quarto quadrante della mia immagine poichè il versore $V(t)$ ha entrambe le proiezioni concordi con gli assi. Essendo la componente orizziontale di $N(t)$ concorde con quella di $V(t)$ e invece discorde quella verticale, abbiamo le condizioni verificate. Stessa cosa vale per il secondo quadrante poichè entrambe le componenti sono negative quindi non c'è permutazione dei segni. Mentre per il primo e terzo quadrante c'è una permutazione sulle componenti orizzontali e verticali di $V(t)$ e questo spiega perchè abbiamo una situazione specchiata, corretto?
"Gandrian":
Per trovare il versore normale a questa curva bisogna fare la derivata seconda di $ Phi(t) $ e normalizzare anche in questo caso, dalla letteratura trovo il seguente risultato:
$ nu = 1/(sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2))*( (y'(t)), (-x'(t)) ) $
In effetti quella è una definizione. Il meno viene dal fatto che, se \((v_1, v_2)\in \mathbb R^2\) è un vettore allora \((v_2, -v_1)\) è il vettore ottenuto ruotando di 90° in senso orario. Se avessi ruotato in senso antiorario avresti ottenuto lo stesso un vettore normale, ma con l'orientazione opposta. La scelta della giusta orientazione è convenzionale.
Ciao dissonance,
la tua spiegazione mi è chiara concettualmente ma il fatto che le componenti vengano invertite e soltanto la seconda componente venga invertita di segno mi è digestita solo analiticamente, in via grafica sono riuscito a spiegarlo soltanto con il mio post con la circonferenza
la tua spiegazione mi è chiara concettualmente ma il fatto che le componenti vengano invertite e soltanto la seconda componente venga invertita di segno mi è digestita solo analiticamente, in via grafica sono riuscito a spiegarlo soltanto con il mio post con la circonferenza
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