Segnatura prodotti scalari in caratteristica non zero
Salve a tutti.
Ho questo dubbio:
Sia $V=\mathbb{F}_2^2$, sia $\phi$ un prodotto scalare la cui matrice nella base canonica è la seguente: $M=((0,1),(1,0))$. Ho che $V={((0),(0)),((1),(0)),((0),(1)),((1),(1))}$ (tutti isotropi).
Il prodotto scalare di una qualsiasi coppia di vettori di $V$ che non contenga il vettore nullo è $1$.
Uno si potrebbe chiedere quale sia la segnatura di $\phi$...
Stando alla definizione, quello che possiamo dire di sicuro è che l'indice di nullità è $0$. Sarei tentato di affermare che l'indice di positività sia $2$, (perchè la massima dimensione di un sottospazio su cui la restrizione del prodotto scalare sia definita positiva è $2$) ma vale anche che $1=-1$. Quindi mi sembra che non abbia senso parlare di "positività\nullità" (almeno io non ce lo vedo).
A questo punto mi chiedo:
Ci sarebbero problemi se affermassi allora che il rango è un'invariante completo di congruenza per i prodotti scalari (e le isometrie) su $\mathbb{F}_p^n$?
Sembra di sì, perchè $((0,1),(1,0))$ sarebbe equivalente a $((1,0),(0,1))$, e questo mi sembra insensato! Anche se il rango sembra comunque essere un invariante (non completo, a questo punto!).
Come classifico i prodotti scalari su $\mathbb{F}_p^n$ allora?
grazie in anticipo. (abbiate pietà se ho fatto una domanda stupida.)
Ho questo dubbio:
Sia $V=\mathbb{F}_2^2$, sia $\phi$ un prodotto scalare la cui matrice nella base canonica è la seguente: $M=((0,1),(1,0))$. Ho che $V={((0),(0)),((1),(0)),((0),(1)),((1),(1))}$ (tutti isotropi).
Il prodotto scalare di una qualsiasi coppia di vettori di $V$ che non contenga il vettore nullo è $1$.
Uno si potrebbe chiedere quale sia la segnatura di $\phi$...
Stando alla definizione, quello che possiamo dire di sicuro è che l'indice di nullità è $0$. Sarei tentato di affermare che l'indice di positività sia $2$, (perchè la massima dimensione di un sottospazio su cui la restrizione del prodotto scalare sia definita positiva è $2$) ma vale anche che $1=-1$. Quindi mi sembra che non abbia senso parlare di "positività\nullità" (almeno io non ce lo vedo).
A questo punto mi chiedo:
Ci sarebbero problemi se affermassi allora che il rango è un'invariante completo di congruenza per i prodotti scalari (e le isometrie) su $\mathbb{F}_p^n$?
Sembra di sì, perchè $((0,1),(1,0))$ sarebbe equivalente a $((1,0),(0,1))$, e questo mi sembra insensato! Anche se il rango sembra comunque essere un invariante (non completo, a questo punto!).
Come classifico i prodotti scalari su $\mathbb{F}_p^n$ allora?
grazie in anticipo. (abbiate pietà se ho fatto una domanda stupida.)
Risposte
Almeno per campi finiti di caratteristica $p!=2$ potrebbe essere utile questo:
http://www-math.mit.edu/~dav/Fqquadforms.pdf
In questo contesto la nozione di "essere positivo" diventa "essere un quadrato".
http://www-math.mit.edu/~dav/Fqquadforms.pdf
In questo contesto la nozione di "essere positivo" diventa "essere un quadrato".
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